简单排序算法之——插入排序

tips：为了方便理解和学习，我们讲解排序假设是对一个整型数组进行排序（不是整型数组也可以排序，关键是你要排什么的顺序）

这次我们讲解最简单的排序算法之一——插入排序

插入排序的思想跟现实生活中的一些事物是有关系的哦！是什么呢？那就是排队（对应排序）时的插队（对应插入）啦！

让我们假设一个情况：现在排了个队伍，所有人身高不一致，要求整个队伍变为从矮到高的顺序（排序喽~），且你前面所有人都排好了（从你开始往后都没排好），你会怎么做呢？

我赌五毛，你肯定是先和你前面那个人比身高，如果比他矮则“插入”到他前面去，然后继续和前面那个人比身高，直到你前面的人比你矮或者你到最前面（有点尴尬，我最矮吗orz？）了为止。

这就是插入排序的思想来源~（你也可以叫它插队排序

）

但是，实现插入排序还有一个问题要解决，那就是“我前面的所有人都排好了”！

看起来是个大问题呢……

谁敢保证我前面的队伍一定是排好了的啊！




还真有！谁呢？队伍中的第二个人啊！

（我前面就一个人，我前面当然排好了orz）

所以啊，我们只要先让第二个人排（也就是看看他要不要插到第一个人的前面去

）

再让第三个人排，然后第四个人，接着第五个人，以此类推……

讲到这了，我想，插入排序的例程也应该给出啦


void  InsertionSort ( ElementType  A [ ], int N)   //N为数组元素个数

{

       int  j, p;      //j将用于插入时当前元素下标，p用于当前要插队到前面去的家伙

       ElementType  Temp;

       for (p=1; p<N ; p++ )

       {        

               Temp=A [ p ];            //每次循环开始时用Temp保存当前需排序元素，可以免去交换

                for ( j=p; j>0 && A [ j-1 ] > Temp ; j--)

                           A [ j ]=A [ j-1 ];            //因为Temp的存在，我们不需要做真正的交换动作，只需移动

                A [ j ]=Temp;               //显然，当循环跳出时j对应下标即A [ p ]应该在的位置

        }

}

然后再来一个小小的实际例子，看看插入排序是如何工作的吧！

例

              5,8,6,9,4,10

第一次   5,8,6,9,4,10     （8和5比较，未交换）

第二次   5,6,8,9,4,10     （6和8，5依次比较，最后与8交换）

第三次   5,6,8,9,4,10     （9和8比较，不交换（注意9未与6和5比较，因为没必要了））

第四次   4,5,6,8,9,10      （4和9,8,6,5依次比较）

第五次   4,5,6,8,9,10      （10和9比较，不交换，结束）

插入排序的时间复杂度是O（N^2），这个界可以在元素是完全反序（例如54321）的情况下达到。

（这么一说，感觉插入排序也不是特别6呢orz……但是啊！它可是希尔排序的思想来源哦！

）

插入排序是O（N^2），冒泡排序也是O（N^2），那它们是不是有什么共通点啊？！

让我们来说一个定理解释一下吧~

通过交换相邻元素进行排序的任何算法平均需要Ω（N^2）（而插入排序和冒泡排序每次都是交换的相邻元素呢）



这个定理我们待会儿再推（因为要用到另外的定理啊(⊙o⊙)）

现在我们先讲另一个定理

N个互异数的数组的平均逆序数是N（N-1）/4（这里需要你自己明白什么是逆序数呢）



推：对于任意表，例如5,8,9,6,4，其逆序数为6，而它的反序表为4,6,9,8,5，其逆序数为4。两个表的逆序数之和为10，正是元素总数5选2的组合！即N（N-1）/2！

因为任意一对数（x,y）且x在前又x>y的情况一定会在二表之一中。所以说一个互异数表与其反序表的逆序数之和一定是N（N-1）/2，也就是说任意一个互异数表的平均逆序数为N（N-1）/4

有了这个定理，我们再回去推导第一个定理：

因为逆序数平均为N（N-1）/4=Ω（N^2），而每次交换只会减少一个逆序数！所以需要Ω（N^2）次交换！

由此我们也可以明白一件事：如果要使一个排序算法以亚二次或o（N^2）时间运行，必须执行一些比较，特别要对相距较远的元素进行交换，它必须每次交换删除不止一个逆序数！（如果你看过希尔排序和快速排序，应该很容易看出它们比较过较远的元素吧？~）