LCS 最大公共序列算法粗略讲解

定义：

一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。

举个例子，如：有两个随机字符串，123456 和 34589，则它们的最长公共子序列便是：345。

最长公共子串和最长公共子序列的区别：

子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。

解法：

当数列的量为一定的时，都可以采用动态规划去解决。该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)，时间复杂度为O(nlogn)。

字符串str1和str2,长度分别为len1,len2，创建一个dp[len1][len2]的二维数组，初始化dp数组的值全部为0，i和j分别从1开始，i++，j++循环：

如果str1[i-1] == str2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i- 1, j -1] + 1；

如果str1[i-1] != str2[j-1]，则dp[i][j] = max(dp[i][j-1]，dp[i-1][j])

比如举个例子:str1字符串为abcfbc,str2字符串为abfcab。下面列个表格

/	/	a	b	f	c	a	b
/	0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1	1
b	0	1	2	2	2	2	2
c	0	1	2	2	3	3	3
f	0	1	2	3	3	3	3
b	0	1	2	3	3	3	4
c	0	1	2	3	4	4	4

而dp[len1][len2]极为最大公共序列长度 例子答案就是4

下面就上代码了。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>

using namespace std;

#define sc(x,y) scanf("%s %s",x,y)
#define FOR(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define pr(x) printf("%d\n",x)

const int maxn=1005;
char str1[maxn],str2[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
while(~sc(str1,str2))
{
int len1=strlen(str1);
int len2=strlen(str2);
memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化数组dp
for(int i=1;i<=len1;i++)
{
for(int j=1;j<=len2;j++)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1])
{
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else
{
dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
}
}
}
for(int i=1;i<=len1;i++)
{
for(int j=1;j<=len2;j++)
{
printf("%d ",dp[i][j]);
}
printf("\n");
}
pr(dp[len1][len2]);
}
return 0;
}

END！！！！！！！！！！！