洛谷 P1265 公路修建

题目描述

某国有n个城市，它们互相之间没有公路相通，因此交通十分不便。为解决这一“行路难”的问题，政府决定修建公路。修建公路的任务由各城市共同完成。

修建工程分若干轮完成。在每一轮中，每个城市选择一个与它最近的城市，申请修建通往该城市的公路。政府负责审批这些申请以决定是否同意修建。

政府审批的规则如下：

（1）如果两个或以上城市申请修建同一条公路，则让它们共同修建；

（2）如果三个或以上的城市申请修建的公路成环。如下图，A申请修建公路AB，B申请修建公路BC，C申请修建公路CA。则政府将否决其中最短的一条公路的修建申请；

（3）其他情况的申请一律同意。

一轮修建结束后，可能会有若干城市可以通过公路直接或间接相连。这些可以互相：连通的城市即组成“城市联盟”。在下一轮修建中，每个“城市联盟”将被看作一个城市，发挥一个城市的作用。

当所有城市被组合成一个“城市联盟”时，修建工程也就完成了。

你的任务是根据城市的分布和前面讲到的规则，计算出将要修建的公路总长度。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n，表示城市的数量。(n≤5000)

以下n行，每行两个整数x和y，表示一个城市的坐标。(-1000000≤x，y≤1000000)

输出格式：

一个实数，四舍五入保留两位小数，表示公路总长。（保证有惟一解）

输入输出样例

输入样例#1：

4

0 0

1 2

-1 2

0 4

输出样例#1：

6.47

首先可以证明，规则（2）是毫无用处的，因为三个以上城市成环的情况是不可能出现的（反证法）。接下来可以证明，按“轮”进行处理也是没有必要的，因此只需直接求出最小生成树即可。平方阶的Prim在时间上是可以通过的，但如果开5000*5000邻接矩阵的话会MLE，因此没有必要把边权预处理出来保存在矩阵里，每次需要用到的时候直接计算即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=5001;
int n,x[maxn],y[maxn];
double cnt,d[maxn];
bool b[maxn];
double dis(int i,int j)
{
return sqrt((double)(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(double)(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",x+i,y+i);
for(int i=1;i<=n;i++)
d[i]=dis(1,i);
int k;
for(int i=1;i<=n-1;i++)
{
double mn=1e9;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(d[j]&&d[j]<mn)
{
mn=d[j];
k=j;
}
d[k]=0;
cnt+=mn;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(dis(k,j)<d[j])
d[j]=dis(k,j);
}
printf("%.2f\n",cnt);
return 0;
}