uva 011178 Morley's Theorem 计算几何

连接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/18543

我们通过一个具体的题目来学习几个计算几何的知识点。

在计算几何中所谓的知识点，其实就是一个又一个的函数，因此在学习过程中要注意积累这些函数，并且要充分理解它们的使用条件，这样在用的时候才能够得心应手。

 Ex1：

  Morley定理告诉我们，任意三角形的三个角的6条三等分线会交出一个等边三角形记作△DEF，那么现在给出△ABC的三个顶点，请计算D、E、F的坐标.

               

         

 

 分析：既然这道题目给出了原理，那么它的难点就主要在于如何取编程实现计算。我们首先来看一下为了求解这三个顶点，我们需要做一些什么，然后各自独立的分析，形成功能独立的函数。

 首先，求解三个顶点的过程中是存在对称性，因此我们找到求出一个顶点的方法即可，根据Morley定理，我们需要找到两个角的各自三等分线(靠近公共边的),他们的交点就是正三角形中的一个顶点。

 (1):两条三等分怎么找？

  考察这里我们有的已知条件：初始向量BC，旋转角度，旋转方向。然后现在我们想要求解旋转后的向量BD，因此这里我们用到向量旋转公式：

   


 


 


  (2)旋转角度怎么求？

  已知两个向量，求其夹角，用简单的点积就可以实现。

 

  (3)求得两条三等分直线后，如何求交点呢？

  需要注意的是，上文求得的所谓的“三等分直线”本质上是向量，而向量是可以平移的，因此我们需要用直线上边的点来限制向量的平移，也就是说，这里我们用向量参数来表示一条直线。

   


  看t1、t2的形式是不是很像克莱姆法则啊，猜对了，其实它就是一个线性方程组的解。

   


  完成了这些准备工作，关于代码实现，也就一目了然了。

  简单的参考代码如下：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<string.h>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<functional>
#include<map>
using namespace std;
const int maxn = 200 + 10;
const int INF = (int)1e9;

struct Point {
int x;
int y;
Point(int x = 0,int y = 0):x(x),y(y){}
};

typedef Point Vector;
Vector operator + (Vector A, Vector B) { return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y); }
Vector operator - (Point A, Point B) { return Vector(A.x - B.y, A.y - B.y); }
Vector operator * (Vector A, double p) { return Vector(A.x*p, A.y*p); }
Vector operator / (Vector A, double p) { return Vector(A.x / p, A.y*p); }

double Dot(Vector A, Vector B) { return A.x*B.x + A.y*B.y; }//向量点乘
double Length(Vector A) { return sqrt(Dot(A, A)); } //向量模长
double Angle(Vector A, Vector B) { return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B)); } //向量之间夹角

double Cross(Vector A, Vector B) { //叉积计算 公式
return A.x*B.y - A.y*B.x;
}

Vector Rotate(Vector A, double rad)//向量旋转 公式
{
return Vector(A.x*cos(rad) - A.y*sin(rad), A.x*sin(rad) + A.y*cos(rad));
}

Point getLineIntersection(Point P, Vector v, Point Q, Vector w)//两直线交点t1 t2计算  公式
{
Vector u = P - Q;
double t = Cross(w, u) / Cross(v, w);  //求得是横坐标
return P + v*t;  //返回一个点
}

Point getD(Point A, Point B, Point C) {
Vector v1 = C - B;
double a1 = Angle(A - B, v1);
v1 = Rotate(v1, a1 / 3);//在B点旋转后的向量

Vector v2 = B - C;
double a2 = Angle(A - C, v2);
v2 = Rotate(v2, -a2 / 3);//在C点旋转后的向量  注意符号

return getLineIntersection(B, v1, C, v2);//返回交点
}

int main()
{
int T;
Point A, B, C, D, E, F;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf", &A.x, &A.y, &B.x, &B.y, &C.x, &C.y);
D = getD(A, B, C);//注意顺序
E = getD(B, C, A);
F = getD(C, A, B);
printf("%.6lf %.6lf %.6lf %.6lf %.6lf %.6lf", D.x, D.y, E.x, E.y, F.x, F.y);
}
//system("pause");
return 0;
}