HDU 5755 Gambler Bo（高斯消元）

Description

有一个n*m矩阵，每个格子上有一个初始值(0,1,2)，每次操作可以让任一个格子的值加2，但是也会使得这个格子上下左右的格子里面的值加1，问是否存在一种操作序列使得所有格子的值模3余0，如果存在则输出任一种总操作数不超过2nm的操作序列

Input

第一行一整数T表示用例组数，每组用例首先输入两个整数n和m表示矩阵行列数，之后一个n*m矩阵表示这个矩阵的初始状态(T<=10,1<=n,m<=30)

Output

对于每组用例，输出一种合法的操作序列（保证有解）

Sample Input

2

2 3

2 1 2

0 2 0

3 3

1 0 1

0 1 0

1 0 1

Sample Output

1

1 2

5

1 1

1 3

2 2

3 1

3 3

Solution

将每个格子被操作的次数看作变量，问题转化为一个nm*nm的模3线性方程组，高斯消元即可，可能有多组解，任取一组即可（例如将所有自由变元值赋为0）,注意题目给出的是初始状态，而方程组右端的值表示的是每个格子的改变值，即是用3减去该格子的初始状态

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
//高斯消元法解模线性方程组
#define maxn 999
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}
// 高斯消元法解方程组
//-2表示有浮点数解,但无整数解
//-1表示无解
//0表示唯一解
//大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数
//有equ个方程，var个变元
//增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var,int mod)
{
int i,j,k;
int max_r;//当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0;i<=var;i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵.
col=0;//当前处理的列
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{// 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0)
{// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{// 枚举要删去的行.
if(a[i][col]!=0)
{
LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta=LCM/abs(a[i][col]);
tb=LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;
}
}
}
}
//无解的情况
for(i=k;i<equ;i++)
{
if(a[i][col]!=0) return -1;
}
// 无穷解的情况
if(k<var)
{
//自由变元有var-k个,即不确定的变元至少有var-k个.
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
free_x_num=0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
for(j=0;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0&&free_x[j]) free_x_num++,free_index=j;
}
if(free_x_num>1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
temp=a[i][var];
for(j=0;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j]%mod;
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
x[free_index]=(temp/a[i][free_index])%mod;//求出该变元.
free_x[free_index]=0;//该变元是确定的.
}
for(i=k;i<var;i++)x[i]=0;
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
temp=a[i][var];
for(j=i+1;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
while(temp%a[i][i]!=0) temp+=mod;
x[i]=(temp/a[i][i])%mod;
}
return var-k; //自由变元有var-k个.
}
//唯一解的情况
for(i=var-1;i>=0;i--)
{
temp=a[i][var];
for(j=i+1;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
while(temp%a[i][i]!=0) temp+=mod;
x[i]=(temp/a[i][i])%mod;
}
return 0;
}
int T,n,m;
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
{
int temp=i*m+j;
a[temp][temp]=2;
if(i>0)a[temp-m][temp]=1;
if(i<n-1)a[temp+m][temp]=1;
if(j>0)a[temp-1][temp]=1;
if(j<m-1)a[temp+1][temp]=1;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
init();
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
{
int temp;
scanf("%d",&temp);
a[i*m+j][n*m]=3-temp;
}
//  for(int i=0;i<n*m;i++)
//  {
//      for(int j=0;j<n*m;j++)printf("%d ",a[i][j]);
//      printf(" %d\n",a[i][n*m]);
//  }
int num=Gauss(n*m,n*m,3),ans=0;
for(int i=0;i+num<n*m;i++)
ans+=x[i];
printf("%d\n",ans);
for(int i=0;i+num<n*m;i++)
if(x[i])
{
while(x[i]--)printf("%d %d\n",i/m+1,i%m+1);
}
}
return 0;
}