SGU 200 Cracking RSA（高斯消元+高精度）

Description

给出m个整数，他们都是由前t个素数组成，问有多少个这m个数的子集，使得这个子集中数的乘积是一个完全平方数

Input

第一行两个整数t和m，第二行m个整数bi(1<=t,m<=100,1<=bi<=10^9)

Output

输出满足条件的集合个数

Sample Input

3 4

9 20 500 3

Sample Output

3

Solution

每个数是否被选看作变量，对每个数素因子分解就可以得到这个数被选之后对答案的影响，即某个素因子的幂指数是否是偶数，这样就得到了一个t*m的模2线性方程组，之后高斯消元即可得到自由变元的数量num，每一组自由变元的取值即得到一组合法解，答案就是2^num-1（去掉空集的情况），由于num<=100，所以要用高精度求一下2^num-1

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
//高斯消元法解模线性方程组
#define maxn 111
struct BigInt
{
const static int mod=10000;
const static int LEN=4;
int a[11],len;
BigInt()
{
memset(a,0,sizeof(a));
len=1;
}
void init(int x)
{
memset(a,0,sizeof(a));
len=0;
do
{
a[len++]=x%mod;
x/=mod;
}while(x);
}
BigInt operator +(const BigInt &b)const
{
BigInt ans;
ans.len=max(len,b.len);
for(int i=0;i<=ans.len;i++)ans.a[i]=0;
for(int i=0;i<ans.len;i++)
{
ans.a[i]+=((i<len)?a[i]:0)+((i<b.len)?b.a[i]:0);
ans.a[i+1]+=ans.a[i]/mod;
ans.a[i]%=mod;
}
if(ans.a[ans.len]>0)ans.len++;
return ans;
}
BigInt operator -(const BigInt &b)const
{
BigInt ans;
ans.len=len;
int k=0;
for(int i=0;i<ans.len;i++)
{
ans.a[i]=a[i]+k-b.a[i];
if(ans.a[i]<0)ans.a[i]+=mod,k=-1;
else k=0;
}
while(ans.a[ans.len-1]==0&&ans.len>1)ans.len--;
return ans;
}
void output()
{
printf("%d",a[len-1]);
for(int i=len-2;i>=0;i--)
printf("%04d",a[i]);
printf("\n");
}
};
int prime[1111],is_prime[1111],res;
void get_prime(int n)
{
memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
res=0;
for(int i=2;i<n;i++)
if(!is_prime[i])
{
prime[res++]=i;
for(int j=2*i;j<n;j+=i)is_prime[j]=1;
}
}
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}
// 高斯消元法解方程组
//-2表示有浮点数解,但无整数解
//-1表示无解
//0表示唯一解
//大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数
//有equ个方程,var个变元
//增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var,int mod)
{
int i,j,k;
int max_r;//当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0;i<=var;i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵.
col=0;//当前处理的列
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{// 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0)
{// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{// 枚举要删去的行.
if(a[i][col]!=0)
{
LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta=LCM/abs(a[i][col]);
tb=LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;
}
}
}
}
//无解的情况
for(i=k;i<equ;i++)
{
if(a[i][col]!=0) return -1;
}
// 无穷解的情况
if(k<var)
{
//自由变元有var-k个,即不确定的变元至少有var-k个.
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
free_x_num=0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
for(j=0;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0&&free_x[j]) free_x_num++,free_index=j;
}
if(free_x_num>1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
temp=a[i][var];
for(j=0;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j]%mod;
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
x[free_index]=(temp/a[i][free_index])%mod;//求出该变元.
free_x[free_index]=0;//该变元是确定的.
}
return var-k; //自由变元有var-k个.
}
//唯一解的情况
for(i=var-1;i>=0;i--)
{
temp=a[i][var];
for(j=i+1;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
while(temp%a[i][i]!=0) temp+=mod;
x[i]=(temp/a[i][i])%mod;
}
return 0;
}
int t,m,b;
int main()
{
get_prime(1111);
scanf("%d%d",&t,&m);
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d",&b);
for(int j=0;j<t;j++)
if(b%prime[j]==0)
{
int cnt=0;
while(b%prime[j]==0)b/=prime[j],cnt++;
a[j][i]=cnt%2;
}
}
for(int i=0;i<t;i++)a[i][m]=0;
int num=Gauss(t,m,2);
BigInt ans,temp;
ans.init(1);
for(int i=0;i<num;i++)
{
temp=ans+ans;
ans=temp;
}
temp.init(1);
ans=ans-temp;
ans.output();
return 0;
}