Leecode题集——sqrtx

Implementint sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.
直接遍历会超时，有两种方法：一是二分查找法，二是牛顿迭代法。
方法一、二分查找法

int sqrt(int x)
{
//鲁棒性检查，不合理输入
if(x<0)
return -1;
if(x==0)
return 0;

//确定搜索范围
long long i=0;
long long j=x/2+1;
while(i<=j)
{
long long mid=(i+j)/2;
long long sq=mid*mid;

if(sq<x)
i=mid+1;
else if(sq>x)
j=mid-1;
else
return mid;
}

return j;
}

方法二、牛顿迭代法

为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如右图所示。


   首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

   同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

   以此类推。

   以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

 

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi -
f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi -
xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi +
n/xi) / 2。

int sqrt(int x)
{
if(x<0)
return -1;
if(x==0)
return 0;

double last=0;
double res=1;
while(last!=res)
{
last=res;
res=(res+x/res)/2;
}
return (int)res;
}当输入为double类型时，

double sqrt(double x)
{
if(x=0.0)
return 0.0;
double last=0.0;
double res=1.0;

while(last!=res)
{
last=res;
res=(res+x/res)/2;
}
return res;
}