【codevs5226】物品选取

【问题描述】

	小沐同学确信所有问题都有个多项式时间算法，为了证明，他决定自己去当一次旅行商，在上路之前，小 X 需要挑选一些在路上使用的物品，但他只有一个能装体积为 m 的背包。显然，背包问题对小沐来说过于简单了，所以他希望你来帮他解决这个问题。 　　小沐可以选择的物品有 n样，一共分为甲乙丙三类： 　　1．甲类物品的价值随着你分配给他的背包体积变化，它的价值与分配给它的体积满足函数关系式，v(x) = A*x^2-B*x，x表示分配给该物品的体积，为非负整数，A，B是每个甲类物品的两个参数。注意每个体积的甲类物品只有一个。 　　2．乙类物品的价值 A和体积 B都是固定的，但是每个乙类物品都有个参数C，表示这个物品可供选择的个数。 　　3．丙类物品的价值 A和体积 B也是固定的，但是每个丙类物品可供选择的个数都是无限多个。 　　你最终的任务是确定小沐的背包最多能装有多大的价值上路。

	【输入格式】
	第一行两个整数 n，m，表示背包物品的个数和背包的体积； 　　接下来 n行，每行描述一个物品的信息。第一个整数 x，表示物品的种类： 　　若 x 为1表示甲类物品，接下来两个整数 A,B，为A类物品的两个参数； 　　若 x 为2表示乙类物品，接下来三个整数 A,B,C。A表示物品的价值，B表示它的体积，C 表示它的个数； 　　若 x 为3表示丙类物品，接下来两个整数A,B。A表示它的价值，B表示它的体积。

	【输出格式】
	仅一行为一个整数，表示小 X的背包能装的最大价值。

	【输入样例】
	【样例1】 　1 0 　1 1 1 【样例2】 　4 10 　2 1 2 1 　1 1 2 　3 5 2 　2 200 2 3

	【输出样例】
	【样例1】 　0 【样例2】 　610

	【数据范围】
	对于50%的数据，只有乙和丙两类物品； 对于70%的数据，1<=n<=100, 1<=m<=500，0<=A,B,C<=200； 对于100%的数据，1<=n<=100, 1<=m<=2000，0<=A,B,C<=200；

题目大意:有三种物品，每种物品有着自己不同的属性，现在求在最后装载的总体积小于等于m的前提下，背包内物品的最大价值。这类背包问题关心的是"选不选"这个问题。是标准的0/1背包。

算法:动态规划O(n*m^2)

设状态函数f(j)表示在前i个物品中选择一些装入背包，在背包内物品体积和不超过j的前提下，背包内物品价值的最大值。

先考虑较为简单的乙类和丙类物品，对于乙类物品i，每一次都可以选0件，选1件...直到选min(a[i].C,j/a[i].B)件。对应状态f(j-a[i].B)+a[i].A,f(j-2*a[i].B)+2*a[i].A...f(j-min(j/a[i].B,a[i].C)

而丙类物品和乙类物品类似，只是没有a[i].c的限制。

现在考虑最难的甲类物品，甲类物品的价值随着指定体积的大小而变化。而当前可指定给甲物品的体积为0(不放)、1......、j

对应状态f(j)、f(j-1)+A*1^2+B*1、.......、f(0)+A*j^2+B*j。

在三类物品的所有状态中,取一个最大的价值，就是所求的f(i,j)

代码实现时注意解这种物品种类和属性较多的题，要注意分类处理，每考虑一个物品，都应该取循环一次j。

最后的答案f(m)

边界 f(0)=0(不能放任何物品)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define maxn 105
#define maxm 2005
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m;
struct data
{
int A,B,C,x;
}a[maxn];
LL f[maxm];
int main()
{
//freopen("select.in","r",stdin);
//freopen("select.out","w",stdout);

scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
if(x==1)
{
int A,B;
scanf("%d%d",&A,&B);
a[i]=(data){A,B,1,x};
}

if(x==2)
{
int A,B,C;
scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);
a[i]=(data){A,B,C,x};
}

if(x==3)
{
int A,B;
scanf("%d%d",&A,&B);
a[i]=(data){A,B,2005,x};
}

}

f[0]=0;

for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(a[i].x==1)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
for(int x=j;x>=1;x--)
f[j]=max(f[j],f[j-x]+a[i].A*x*x-a[i].B*x);
}

if(a[i].x==2)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
for(int x=1;x<=a[i].C && x*a[i].B<=j;x++)
f[j]=max(f[j],f[j-x*a[i].B]+x*a[i].A);
}

if(a[i].x==3)
{
for(int j=a[i].B;j<=m;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-a[i].B]+a[i].A);
}

}

cout<<f[m]<<'\n';

return 0;
}