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uva1602 无方向位置的姿势判重

2016-08-06 11:58 357 查看
存储一个姿势,不针对它的方向和位置。涉及三个动作:翻转,移动,旋转。

利用标准化使位置固定到一个相对位置上。

利用三个动作判重。

利用集合来无重复的保存解,

判断解的范围进行取舍。

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=51164

题解来自LinVan的博客,链接在我博客的相关链接中。:

本题利用回溯法解决。本题实际上是要搜索n连通块不同形态的个数(平移,翻转,旋转后相同的算作一种形态),因此能够有效的判断n连通块是否重复是关键。

那么如何判断是否重复呢?我们一步步的分析。由于可能要涉及对一个对象的旋转,平移,翻转操作,因此我们有必要定义好相应的结构体去支持这些操作的完成。

首先不难发现,每个单元格应当作为一个结构体出现,用(x,y)即可完整的描述一个具体的单元格,不妨定义为Cell结构体。对于一个连通块,我们实际上关心的

是他的外部形态,并不关心每个格子的位置,因此可以将set当做一个结构体,定义为Polyomino,表示一系列Cell拼成的连通块。

接下来考虑连通块应当具备什么样的操作?对于平移操作,我们可以定义一个normalize函数,找出x,y分别的最小值minX,minY,那么它可以视为一个平移矢量

(minX,minY),将连通块的每个单元格都减去该矢量,即实现了标准化。对于旋转操作,我们可以定义一个rotate函数,表示将整个连通块围绕坐标原点顺时针旋

转90度。如何实现呢?其实很简单,只需要将每个格子都顺时针旋转90度即可。相应的几何变换为(x,y)->(y,-x)。对于翻转操作,由于既可以沿x轴翻转,也可以

沿y轴翻转,但实际上沿x轴翻转后再绕坐标原点顺时针旋转180度即可得到沿y轴翻转的图案。因此这里我们定义一个flip函数,表示将一个连通块沿x轴翻转。相应

的几何变换为(x,y)->(x,-y)。

有了上述的三种操作以后,判断是否重复就变得非常简单了。首先将当前的连通块平移到坐标原点,每次都顺时针旋转90度,检查是否和当前的n连通块集合中出现的

有重复。如果均没有,将该连通块沿x轴翻转后,再依次顺时针旋转90度判断,如果均没有,就表示这是一种新的形态,加入到n连通块所在的集合中即可。

解决了判重的问题,接下来考虑如何枚举所有的n连通块。一个n连通块,当n>1时,一定是在n-1连通块的基础上生成的,即以每个n-1连通块为基础,以某一个n-1

连通块的某个单元格开始,向上下左右4个方向扩展。如果可以扩展,且不出现重复,就找到了一个n连通块,加入到集合中来。最终完成n连通块的枚举。

为了避免每次输入都要进行一次枚举,我们可以事先对所有的n连通块个数打表,题目中w,h的范围都比较小,可以用ans

[w][h]来表示在w*h网格内的n连通块的个数。打表后直接输出即可。

注意:在rotate函数和flip函数中,一定要先进行旋转或者翻转操作,再标准化,如果顺序弄反了会改变其中平移矢量的角度,使得后续判断出错。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;

struct Cell {//定义结构体,保存元素
int x, y;
Cell(int x=0, int y=0):x(x),y(y) {};
bool operator < (const Cell& rhs) const {
return x < rhs.x || (x == rhs.x && y < rhs.y);
}
};

typedef set<Cell> Polyomino;//保存一个解,利用set保存不重复

#define FOR_CELL(c, p) for(Polyomino::const_iterator c = (p).begin(); c != (p).end(); ++c)

inline Polyomino normalize(const Polyomino &p) {//标准化,放正这个元素
int minX = p.begin()->x, minY = p.begin()->y;
FOR_CELL(c, p) {
minX = min(minX, c->x);
minY = min(minY, c->y);
}
Polyomino p2;
FOR_CELL(c, p)
p2.insert(Cell(c->x - minX, c->y - minY));
return p2;
}

inline Polyomino rotate(const Polyomino &p) {//旋转
Polyomino p2;
FOR_CELL(c, p)
p2.insert(Cell(c->y, -c->x));
return normalize(p2);
}

inline Polyomino flip(const Polyomino &p) {//翻转
Polyomino p2;
FOR_CELL(c, p)
p2.insert(Cell(c->x, -c->y));
return normalize(p2);//最后要标准化
}

const int dx[] = {-1,1,0,0};//保存状态
const int dy[] = {0,0,-1,1};
const int maxn = 10;

set<Polyomino> poly[maxn+1];
int ans[maxn+1][maxn+1][maxn+1];

// add a cell to p0 and check whether it's new. If so, add to the polyonimo set
void check_polyomino(const Polyomino& p0, const Cell& c) {//检查是否可以添加
Polyomino p = p0;
p.insert(c);
p = normalize(p);

int n = p.size();
for(int i = 0; i < 4; i++) {
if(poly
.count(p) != 0) return;
p = rotate(p);
}
p = flip(p);
for(int i = 0; i < 4; i++) {
if(poly
.count(p) != 0) return;
p = rotate(p);
}
poly
.insert(p);
}

void generate() {
Polyomino s;
s.insert(Cell(0, 0));
poly[1].insert(s);

// generate
for(int n = 2; n <= maxn; n++) {
for(set<Polyomino>::iterator p = poly[n-1].begin(); p != poly[n-1].end(); ++p)
FOR_CELL(c, *p)
for(int dir = 0; dir < 4; dir++) {//从头到脚进行遍历
Cell newc(c->x + dx[dir], c->y + dy[dir]);
if(p->count(newc) == 0) check_polyomino(*p, newc);
}
}

// precompute answers
for(int n = 1; n <= maxn; n++)
for(int w = 1; w <= maxn; w++)
for(int h = 1; h <= maxn; h++) {
int cnt = 0;
for(set<Polyomino>::iterator p = poly
.begin(); p != poly
.end(); ++p) {
int maxX = 0, maxY = 0;
FOR_CELL(c, *p) {
maxX = max(maxX, c->x);
maxY = max(maxY, c->y);
}
if(min(maxX, maxY) < min(h, w) && max(maxX, maxY) < max(h, w))//最小值和最大值都在边界当中
++cnt;//符合要求的解
}
ans
[w][h] = cnt;
}
}

int main() {
generate();

int n, w, h;
while(scanf("%d%d%d", &n, &w, &h) == 3) {
printf("%d\n", ans
[w][h]);
}
return 0;
}
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