二叉树的性质以及二叉查找树的基本操作
2016-08-06 11:18
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1、基本概念
树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集。在任意一棵非空树中:(1)有且仅有一个特定的被称为根(Root)的结点;(2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(SubTree)。度:结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)。度为0的结点称为叶子(Leaf)或终端结点。度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。树的度是树内各结点的度的最大值。
孩子及双亲:结点的子树的根称为该结点的孩子(Child),相应地,该结点称为孩子的双亲(Parent)。
层次“结点的层次(Level)是从根结点开始计算起,根为第一层,根的孩子为第二层,依次类推。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度。
如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的(即不能互换),则称该树为有序树,否则称为无序树。
2、二叉树的基本性质:
二叉树(Binary Tree)的特点是每个结点至多具有两棵子树(即在二叉树中不存在度大于2的结点),并且子树之间有左右之分。二叉树的性质:
(1)、在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。
(2)、深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k≥1)。
(3)、对任何一棵二叉树,如果其叶子结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
一棵深度为k且有2^k-1个结点的二叉树称为满二叉树。
可以对满二叉树的结点进行连续编号,约定编号从根结点起,自上而下,自左至右,则由此可引出完全二叉树的定义。深度为k且有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时,称之为完全二叉树。
![](http://my.csdn.net/uploads/201204/06/1333690993_9554.jpg)
(4)、具有n个结点的完全二叉树的深度为不大于log2n的最大整数加1。
(5)、如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号(从第1层到最后一层,每层从左到右),则对任一结点i(1≤i≤n),有
a、如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是结点x(其中x是不大于i/2的最大整数)。
b、如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子是结点2i。
c、如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子是结点2i+1。
3、二叉查找树基本操作
查找:在二叉查找树中查找x的过程如下:
1、若二叉树是空树,则查找失败。
2、若x等于根结点的数据,则查找成功,否则。
3、若x小于根结点的数据,则递归查找其左子树,否则。
4、递归查找其右子树。
/** * 二叉查找树的查找 * @param node * @param x */ public TreeNode Find(TreeNode node,int x){ if(node == null) return null; if(x<node.val) Find(node.left); else if(x>node.val) Find(node.right); else if(x == node.val) return node; } /** * 查找最小值(递归实现) * 一直查找左子树,最后一个节点即为最小值 * @param node */ public TreeNode FindMin(TreeNode node){ if(node == null) return null; else if(node.left == null) return node; else { return FindMin(node.left); } } /** * 查找最大值(循环实现) * 一直查找右子树 * @param node */ public TreeNode FindMax(TreeNode node){ if(node != null) while(node.right != null) node = node.right; return node; }插入:
二叉树查找树b插入操作x的过程如下:
1、若b是空树,则直接将插入的结点作为根结点插入。
2、x等于b的根结点的数据的值,则直接返回,否则。
3、若x小于b的根结点的数据的值,则将x要插入的结点的位置改变为b的左子树,否则。
4、将x要出入的结点的位置改变为b的右子树。
/** * 添加 * @param x * @param root * @return */ public TreeNode Insert(int x,TreeNode root){ if(root == null){ //找到要插入的位置,新建一个节点 TreeNode node = new TreeNode(x); node.left = null; node.right = null; } else if(x<root.val) //如果插入值小于当前值,则应插入左子树 root.left = Insert(x, root.left); else if(x>root.val) //... root.right = Insert(x, root.right); return root; }
删除:
对于二叉查找树的删除操作(这里根据值删除,而非结点)分三种情况:
不过在此之前,我们应该确保根据给定的值找到了要删除的结点,如若没找到该结点
不会执行删除操作!
下面三种情况假设已经找到了要删除的结点。
1、如果结点为叶子结点(没有左、右子树),此时删除该结点不会玻化树的结构
直接删除即可,并修改其父结点指向它的引用为null.如下图:
2、如果其结点只包含左子树,或者右子树的话,此时直接删除该结点,并将其左子树
或者右子树设置为其父结点的左子树或者右子树即可,此操作不会破坏树结构。
3、 当结点的左右子树都不空的时候,一般的删除策略是用其右子树的最小数据
(容易找到)代替要删除的结点数据并递归删除该结点(此时为null),因为
右子树的最小结点不可能有左孩子,所以第二次删除较为容易。
z的左子树和右子树均不空。找到z的后继y,因为y一定没有左子树,所以可以删除y,
并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点,并用y的值代替z的值.如图:
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