POJ 1830 开关问题（高斯消元）

Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。

每组测试数据的格式如下：

第一行 一个数N（0 < N < 29）

第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。

第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。

接下来 每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it’s impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

2

3

0 0 0

1 1 1

1 2

1 3

2 1

2 3

3 1

3 2

0 0

3

0 0 0

1 0 1

1 2

2 1

0 0

Sample Output

4

Oh,it’s impossible~!!

Solution

将是否操作某个开关看作一个变量，问题转化为求一个n*n的模2线性方程组解的个数，统计自由变元个数即可，假设自由变元个数有cnt个，那么每确定一组自由变元的取值就确定一组解，答案就是2^cnt

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
//高斯消元法解模线性方程组
#define maxn 33
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
bool free_x[maxn];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}
// 高斯消元法解方程组
//-2表示有浮点数解,但无整数解
//-1表示无解
//0表示唯一解
//大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数
//有equ个方程，var个变元
//增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var,int mod)
{
int i,j,k;
int max_r;//当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0;i<=var;i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵.
col=0;//当前处理的列
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{// 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0)
{// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{// 枚举要删去的行.
if(a[i][col]!=0)
{
LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta=LCM/abs(a[i][col]);
tb=LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;
}
}
}
}
//无解的情况
for(i=k;i<equ;i++)
{
if(a[i][col]!=0) return -1;
}
// 无穷解的情况
if(k<var)
{
//自由变元有var-k个,即不确定的变元至少有var-k个.
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
free_x_num=0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
for(j=0;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0&&free_x[j]) free_x_num++,free_index=j;
}
if(free_x_num>1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
temp=a[i][var];
for(j=0;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j]%mod;
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
x[free_index]=(temp/a[i][free_index])%mod;//求出该变元.
free_x[free_index]=0;//该变元是确定的.
}
return var-k; //自由变元有var-k个.
}
//唯一解的情况
for(i=var-1;i>=0;i--)
{
temp=a[i][var];
for(j=i+1;j<var;j++)
{
if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
temp=(temp%mod+mod)%mod;
}
while(temp%a[i][i]!=0) temp+=mod;
x[i]=(temp/a[i][i])%mod;
}
return 0;
}
int T,n,start[maxn],end[maxn];
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(a,0,sizeof(a));
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&start[i]);
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&end[i]);
int x,y;
while(scanf("%d%d",&x,&y),x||y)a[y-1][x-1]=1;
for(int i=0;i<n;i++)a[i][i]=1,a[i]
=start[i]^end[i];
int ans=Gauss(n,n,2);
if(ans==-1)printf("Oh,it's impossible~!!\n");
else printf("%d\n",(1<<ans));
}
return 0;
}