unity 点乘与差乘

一、向量

1、向量的数学定义

向量就是一个数字列表，对于程序员来说一个向量就是一个数组。

向量的维度就是向量包含的“数”的数目，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是一维向量。

书写向量时，用方括号将一列数括起来，如[1,2,3] 水平书写的向量叫行向量 垂直书写的向量叫做列向量

2、向量的几何意义

几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段。向量的大小就是向量的长度（模）向量有非负的长度。

向量的方向描述了空间中向量的指向。

向量的形式：向量定义的两大要素——大小和方向，有时候需要引用向量的头和尾，下图所示，箭头是向量的末端，箭尾是向量的开始



向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐标方向和y坐标方向的位移。

3 unity中的向量 Vector类

Vector2 二维向量，表示 2D 的向量和点

Vector3 三维向量，表示3D的向量和点

Vector3.normalized 规范化，返回向量的长度为1（只读）。

Vector3.magnitude 长度，返回向量的长度（只读）。

Vector3.Angle 角度 ， Angle (from : Vector3, to : Vector3) ，由from和to两者返回一个角度。形象的说，from和to的连线和它们一个指定轴向的夹角

二、点乘

1 点乘的数学意义



2 点乘的几何意义



3点乘的特点

在向量u,向量v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；

如果为零，那么u,v垂直；

如果为正，那么u,v形成的角小于90度。

3 点乘在unity中的应用

Vector3.Dot 点乘，对于normalized向量，如果他们指向在完全相同的方向，Dot返回1。如果他们指向完全相反的方向，返回-1。对于其他的情况返回一个数（例如：如果是垂直的Dot返回0）。对于任意长度的向量，Dot返回值是相同的：当向量之间的角度减小，它们得到更大的值。

三、叉乘

1 叉乘的数学意义

表示方法

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。

定义

向量积可以被定义为：

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）



方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin

四、点乘与叉乘在项目中的应用

项目需求：

1 通过点乘计算物体B在物体A的前方还是后方

2 通过叉乘，计算物体A转向物体B时，最小角的旋转方向

实现过程：

首先计算出物体A的前方朝向向量v_Bz=B.transform.forward，然后计算物体B相对于物体A的位置向量 v_AB = A.position - B.position;

通过计算v_Bz与v_AB向量点乘结果的正负，判断物体B在物体A的前后

如果物体B在物体A前方， Vector3.Dot(v_Bz,v_AB)大于0

如果物体B在物体A后方， Vector3.Dot(v_Bz,v_AB)小于0

通过计算v_Bz与v_AB向量叉乘的结果，判断旋转方向

如果逆时针旋转，v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB)为沿y轴负方向

如果顺时针旋转，v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB)为沿y轴正方向

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class Vector3_Dot : MonoBehaviour {

public Transform A, B;
Vector3 v_Bz, v_AB, v_A,v_B,v_C;
string str = "";

// Use this for initialization
void Start()
{

}

// Update is called once per frame
void Update()
{

//点乘
v_Bz = B.transform.forward;//B.transform.TransformDirection(Vector3.forward);
v_AB = A.position - B.position;
float f = Vector3.Dot(v_Bz,v_AB);
if (f>0)
{
str = "A在B自身座标系的前方";
}
else if (f<0)
{
str = "A在B自身座标系的后方";

}
else
{
str = "A在B自身座标系的左前方或右方";
}

//差乘
v_A = A.position;
v_B = B.position;
v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB);
// A.Rotate(0,0,0);

}

void OnGUI()
{
GUI.Label(new Rect(10,10,200,60),str);

}

void OnDrawGizmos()
{
//差乘绘制相关线
Gizmos.color = Color.blue;
Gizmos.DrawLine(-v_C,Vector3.zero);

//点乘绘制相关线
Gizmos.color = Color.yellow;
Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,A.position);

Gizmos.color = Color.yellow;
Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,B.position);

Gizmos.color = Color.red;
Gizmos.DrawLine(A.position, B.position);

Gizmos.color = Color.red;
Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,v_AB);

Gizmos.color = Color.green;
// Gizmos.DrawLine(A.transform.position, Vector3.left);

}
}

总结：

点乘可以判断向量之间的夹角，叉乘可以判断向量之间的方向在顺时针还是逆时针方向