HDU 5794 A Simple Chess （容斥+Lucas定理）

A Simple Chess

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[align=left]Author[/align]
UESTC
[align=left]Source[/align]
2016 Multi-University Training Contest 6

题意：规定起始点（1,1），要求到达（n，m），下一步（x2，y2），这一步（x1，y1），并且这两点坐标要求满足（x2-x1）^2 +（y2-y1）^2
= 5，且 x2>x1 、y2>y1。中间有 r 个障碍点，问最终有多少种方法到达（n，m）。

题解：你大概画个图嘛。
        

（画得有点丑。。。）
可以看出不存在障碍物时棋子走法是一个斜着的杨辉三角。由于每次棋子移动的横纵坐标差值和一定是3，所以棋子所在的层数n等于(x+y)/3。棋子从(1,1)点开始移动，只有满足(x+y)%3==2
&& x>=n+1 && y>=n+1的点棋子才能到达。可以先计算出(1,1)到每个障碍点的方法数（先当做这个障碍点不受其他障碍点影响，即不管这个障碍点的前面是否又有障碍点），然后对障碍点排序，然后两重循环，判断这个障碍点p1会对哪些障碍点（和终点（终点也可能有障碍物））p2照成影响，受影响的障碍点减去影响数，就可以计算剩下的方法就是答案了。由于棋盘界限很大，但取模数为110119，也满足Lucas定理的要求，可以利用Lucas定理快速求大组合数取模的结果。

出题人题解：点我打开链接 Orz....

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const long long mod=110119;
LL all[mod+10],f[mod+10];

LL dp[2010];
struct node
{
LL x,y;
} point[2010];
LL cmp(node a,node b)
{
return a.x<b.x;
}
void init()
{
f[1]=f[0]=all[1]=1;
for(int i=2; i<=mod; ++i)
{
f[i]=f[i-1]*i%mod;
all[i]=all[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
}
LL C(LL n, LL m)
{
if(m > n) return 0;
if (m==0) return 1;
if (m<0) return 0;
return f
*all[f[m]]%mod*all[f[n-m]]%mod;
}
LL Lucas(LL n, LL m)
{
if(m == 0) return 1;
return C(n % mod, m % mod) * Lucas(n / mod, m / mod) % mod;
}

int main()
{
init();
LL h,w,n,cas=1;
while (scanf ("%lld%lld%lld",&h,&w,&n)!=EOF)
{
int flag=0;
memset(dp,0,sizeof(dp));
LL t1,t2;
for (int i=0; i<n; ++i)
{
scanf ("%lld%lld",&t1,&t2);
if (t1==h&&t2==w) flag=1;
point[i].x=t1-1;
point[i].y=t2-1;
}
sort(point,point+n,cmp);
point
.x=h-1;
point
.y=w-1;
++n;
if ((point[n-1].x+point[n-1].y)%3!=0||flag)
{
//printf("n=%lld\n",n);
//printf("dp[0]=%lld\n",dp[0]);
printf ("Case #%lld: %d\n",cas++, 0);
continue;
}
for (int i=0; i<n; i++)
{
if ((point[i].x+point[i].y)%3==0)
{
LL low=(point[i].x+point[i].y)/3;
LL high=min(point[i].x,point[i].y)-low;
dp[i]=Lucas(low,high);

for (int j=0;j<i;j++)
{
if (point[j].y<point[i].y&&point[j].x<point[i].x)
{
LL xx=point[i].x-point[j].x,yy=point[i].y-point[j].y;
if ((xx+yy)%3==0)
{
LL dd=(xx+yy)/3;
LL gg=min(xx,yy)-dd;
dp[i]-=(Lucas(dd,gg)*dp[j])%mod;
dp[i]=(dp[i]+mod)%mod;
}
}
}
}
}
//printf("n=%lld\n",n);
//printf("dp[0]=%lld\n",dp[0]);
printf ("Case #%lld: %lld\n",cas++,dp[n-1]);
}
return 0;
}