5-37 整数分解为若干项之和
2016-08-04 22:58
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将一个正整数N分解成几个正整数相加,可以有多种分解方法,例如7=6+1,7=5+2,7=5+1+1,…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。
输入格式:
每个输入包含一个测试用例,即正整数N (0 < N ≤ 30)。
输出格式:
按递增顺序输出N的所有整数分解式子。递增顺序是指:对于两个分解序列 \(N_1={n_1, n_2, \cdots}\) 和 \(N_2={m_1, m_2, \cdots}\),若存在 i 使得 \(n_1=m_1\), \(\cdots\) , \(n_i=m_i\),但是 \(n_{i+1} < m_{i+1}\),则 \(N_1\) 序列必定在 \(N_2\) 序列之前输出。每个式子由小到大相加,式子间用分号隔开,且每输出 4 个式子后换行。
输入样例:
输出样例:
解题思路:
采用了深度优先处理的思想,涉及到了一点点数据结构的知识。如果还没学到数据结构,也不必担心。在之前的题目中也可能用到了其它容易实现的数据结构,只是不知道它是数据结构中的内容。数据结构就是把各种各样的操作、逻辑关系进行分类、总结,从而让我们更加方便地设计算法来解决问题。
深度优先算法用递归写起来比较方便。递归有两个重要元素:
递归出口
递归的表达式
递归对技巧性要求很高,大多数时候其关系式并不是很容易找到。而且对递归的设计与理解,很容易钻到具体细节的实现上。递归的优点就是可以让一些复杂问题简单化,把具体的细节交给计算机执行。而过分钻研细节,就非常容易陷进去理不清头绪。对于递归的学习应该是多看看经典的递归写法,遇到类似问题会模仿写就行了,不一定要自己创造出一个递归关系式。
本题也是如此。注意算法的主体部分,关键信息无非是:
递归出口是累加的总和等于了输入的 N。
到这里,就可以去看下面的代码了。然后试着自己写,不会写,就模仿,下面的框图对写这个算法基本上没有帮助——除了让人觉得「好像挺复杂的」以外。递归的特点就是形式简单,实际上细节繁多。不要扣于细节,先会写了,再去思考和模拟它的执行细节以掌握它,这样才不至于困难重重,无从下手。如果细节上有疑问,可以来看看下面的处理流程。
算法的处理流程是:
假设输入的 N 为 3:
箭头指明了各层之间的流动方向。
如果 N 更大一点,这个表格会变得更加复杂。递归的手动模拟范围应尽量小一点,否则容易混乱。
你可以发现,所谓的深度优先就是说,优先处理下一个节点,直到它们的 sum 等于 N,才返回上一个节点。先爬到最深处,再往回走。
解题代码:
输入格式:
每个输入包含一个测试用例,即正整数N (0 < N ≤ 30)。
输出格式:
按递增顺序输出N的所有整数分解式子。递增顺序是指:对于两个分解序列 \(N_1={n_1, n_2, \cdots}\) 和 \(N_2={m_1, m_2, \cdots}\),若存在 i 使得 \(n_1=m_1\), \(\cdots\) , \(n_i=m_i\),但是 \(n_{i+1} < m_{i+1}\),则 \(N_1\) 序列必定在 \(N_2\) 序列之前输出。每个式子由小到大相加,式子间用分号隔开,且每输出 4 个式子后换行。
输入样例:
7
输出样例:
7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2 7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3 7=2+5;7=3+4;7=7
解题思路:
采用了深度优先处理的思想,涉及到了一点点数据结构的知识。如果还没学到数据结构,也不必担心。在之前的题目中也可能用到了其它容易实现的数据结构,只是不知道它是数据结构中的内容。数据结构就是把各种各样的操作、逻辑关系进行分类、总结,从而让我们更加方便地设计算法来解决问题。
深度优先算法用递归写起来比较方便。递归有两个重要元素:
递归出口
递归的表达式
递归对技巧性要求很高,大多数时候其关系式并不是很容易找到。而且对递归的设计与理解,很容易钻到具体细节的实现上。递归的优点就是可以让一些复杂问题简单化,把具体的细节交给计算机执行。而过分钻研细节,就非常容易陷进去理不清头绪。对于递归的学习应该是多看看经典的递归写法,遇到类似问题会模仿写就行了,不一定要自己创造出一个递归关系式。
本题也是如此。注意算法的主体部分,关键信息无非是:
void division () { division (下一个); 对结点进行处理; }
递归出口是累加的总和等于了输入的 N。
到这里,就可以去看下面的代码了。然后试着自己写,不会写,就模仿,下面的框图对写这个算法基本上没有帮助——除了让人觉得「好像挺复杂的」以外。递归的特点就是形式简单,实际上细节繁多。不要扣于细节,先会写了,再去思考和模拟它的执行细节以掌握它,这样才不至于困难重重,无从下手。如果细节上有疑问,可以来看看下面的处理流程。
算法的处理流程是:
假设输入的 N 为 3:
第一层递归 | 第二层递归 | 第三层递归 | 主要执行细节 |
---|---|---|---|
division (1) sum = 1,不跳出 → | division (1) sum = 2,不跳出 → | division (1) sum = 3 等于 N,输出当前序列 1 1 1, 跳出,执行 for 循环,sum 均大于 3,跳出,返回上一层 ↓ | 第三层 s[0] s[1] s[2] 动作 1 1 1 输出 1 1 2 跳出 1 1 3 跳出 1 1 4 跳出 |
↓ | 开始处理 division (2) sum = 3,输出当前序列 1 2,然后跳出,执行 for 循环,均跳出 ←返回至上一层 | ←返回至上一层 | 第二层 s[0] s[1] 动作 1 2 输出 1 3 跳出 1 4 跳出 |
开始处理 division (2) sum = 2,不跳出 → | division (2) sum = 4,跳出,返回上一层 ↓ | 第二层 s[0] s[1] 动作 2 2 跳出 | |
开始处理 division (3) sum = 3, 输出当前序列 3,结束程序 | ←返回至上一层 | 第一层 s[0] 动作 3 跳出 |
如果 N 更大一点,这个表格会变得更加复杂。递归的手动模拟范围应尽量小一点,否则容易混乱。
你可以发现,所谓的深度优先就是说,优先处理下一个节点,直到它们的 sum 等于 N,才返回上一个节点。先爬到最深处,再往回走。
解题代码:
#include<stdio.h> int N; int s[31]; // 存放划分结果 int top = -1; // 数组指针 int count = 0; // 统计输出的次数 int sum = 0; // 拆分项累加和 void division (int i); int main () { scanf ("%d", &N); division (1); return 0; } void division (int i) { if (sum == N) { count ++; printf("%d=", N); int k; for (k=0; k<top; k++) { printf("%d+", s[k]); } if (count%4 == 0 || s[top] == N) { printf("%d\n", s[top]); } else { printf("%d;", s[top]); } return; } // 输出部分 if (sum > N) { return; } for (int j=i; j<=N; j++) { s[++top] = j; sum += j; division (j); sum -= j; top --; } // 算法主体 }
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