HDU 3037 (大数&LUCAS定理)

题目大意：求在n棵树上摘不超过m颗豆子的方案，结果对p取模。

解题思路：

题目可以转换成  x1+x2+……+xn=m 有多少组解，m在题中可以取0~m。

利用插板法可以得出x1+x2+……+xn=m解的个数为C（n+m-1，m）；

则题目解的个数可以转换成求   sum=C（n+m-1，0）+C（n+m-1，1）+C（n+m-1，2）……+C（n+m-1，m）

利用公式C（n，r）=C（n-1，r）+C（n-1，r-1）  == >  sum=C（n+m，m）。

现在就是要求C（n+m，m）%p。

因为n，m很大，这里可以直接套用Lucas定理的模板即可。

Lucas（n，m，p）=C（n%p，m%p，p）*Lucas（n/p，m/p，p）；   ///这里可以采用对n分段递归求解，

Lucas（x，0，p）=1；

AC代码：（LUCAS函数可直接使用）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 110119
//ll n,m,r,ca=0,cnt,a,b,rig,up;
#define N 111000

ll mod_pow(ll a,ll n,ll p)
{
ll ret=1,A=a;
while(n)
{
if (n & 1)
ret=(ret*A)%p;
A=(A*A)%p;
n>>=1;
}
return ret;
}

ll factorial
;

void init(ll p)
{
factorial[0] = 1;
for(int i = 1;i <= p;i++)
factorial[i] = factorial[i-1]*i%p;
}

ll Lucas(ll a,ll k,ll p) //求C(n,m)%p p最大为10^5。a,b可以很大！  a个数中挑k个的组合数
{
ll re = 1;
while(a && k)
{
ll aa = a%p;ll bb = k%p;
if(aa < bb) return 0; //这个是最后的改动！
re = re*factorial[aa]*mod_pow(factorial[bb]*factorial[aa-bb]%p,p-2,p)%p;//这儿的求逆不可先处理
a /= p;
k /= p;
}
return re;
}

int main()
{

int t;
ll a,b,p;
cin >> t;
while(t--)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&p);
init(p);
ll ans=Lucas(a+b,b,p);
printf("%I64d\n",ans);
}

return 0;
}