插入排序的优化非希尔【不靠谱地讲可以优化到O(nlogn)】 USACO 丑数

　　首先我们先介绍一下普通的插排，就是我们现在一般写的那种，效率是O(n^2)的。

　　普通的插排基于的思想就是找位置，然后插入进去，其他在它后面的元素全部后移，下面是普通插排的代码：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int a[200000];
int p[200000];

int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
int len = 1;
p[len] = a[1];
for(int i=2;i<=n;i++){  //插入第i个元素
int k = a[i];
int j;
for(j=len;j>=1;j--){
if(k < p[j]){
p[j+1] = p[j];
}else
break;
}
p[j+1] = k;
len++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<p[i]<<" ";
return 0;
}

　　可以看出，这个代码的复杂度应该是T((1+n)*n/2)=O(n^2)的，让我们仔细分析到底时间费在哪里。

　　1.查找过程太费时间，仔细观察我们就可以发现，查找它应当插入元素的位置的时间是O(n)的，我们可以想办法优化成O(log2n)，没错，二分查找，于是我们写出了下面这份代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[200000];
vector <int> vec;

int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin >> n;
for(int i =1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
vec.push_back(a[1]);
for(int i=2;i<=n;i++){
int k=a[i];
int j=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),k)-vec.begin();
vec.insert(vec.begin()+j,k);    //这是O(n)的
}
for(int i=0;i<n;i++){
cout<<vec[i]<<" ";
}
return 0;
}

　　显然，这份代码的复杂度，应该是T(n*(log2n+n))=O(n^2)的，但是有一点好的，就是不会被某些专门卡插排的数据卡。

　　我们再分析一下另一个耗时间的地方。

　　2.将所有元素前移的时间的上界是O(n)的，我们也要想办法优化到O(logn)。若我们只针对这一点优化，那么我们可以想到一种比O(logn)更快的数据结构来优化这一点，链表。

　　如果我们用链表来储存，我们完全没必要将元素前移，只要连接起来，是O(1)的。不难写出下面这份代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{
int data;
node* next;
};
node *start=new node,*end = new node;
int a[200000];

int main(){
end->data = -1;
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin >> n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
start->next = end;
for(int i=1;i<=n;i++){
int k=a[i];
node *p = start;
while(p->next!=end&&p->next->data < k)
p = p->next;
node *q = p->next;
node *now = new node;
now->data = k;
now->next = q;
p->next = now;
}
node *p =start->next;
while(p!=end){
cout<<p->data<<" ";
p = p->next;
}
return 0;
}

显然，这份代码也是O(n^2)的，慢在哪了？又是查找。

　　所以我们现在要做的事，就是把二分融合在链表里面，这就设下了一个大难关，但是，对数级的优化又启发了我们，我们必须在有限的次数(可以预知)内筛掉一半以上的数。

　　我们不妨考虑一个简化版的问题：给定n个有序的元素，现在要插入1个元素，用链表实现，效率是O(logn)怎么搞。

　　对这个问题，我有两个方法：

　　　　法1：在读入的时候预处理每个点到另一个点的中点的位置，空间复杂度高达O(n^2)，铁定MLE。我们不得不另寻他法

　　　　法2：我们不妨分层存储，比如对于一个8个元素的链表，我们可以设计出以下数据结构：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{
int data;
int level;  //所在层数
node* under;  //下一层的相同结点
node* next;
};
struct llist{   //level of list
int level;
node* start;
llist(){
start = new node;
start->data = -1;
}
};
int siz[200]; //定义为一个天文数字
int a[200000];
int log2(int);
node* end = new node;
int top = 1; //表示层数
llist le[200];
int want,n;
int insert(int now,int lev,node* place,node *last = NULL){
node *f = place;
while(f->next->data < now && f->next!=end)
f = f->next;
if(lev != 1){
int pd = insert(now,lev-1,f->under,f);
if(pd == true){
int trid = rand()%2;
if(trid == 1&&lev<want){
node* p = f->next;
node *q = new node;
q->data = p->data;
q->level = p->level+1;
q->under = p;
if(last!=NULL){
q->next = last->next;
last->next = q;
}else{
q->next = end;
le[lev+1].start->next = q;
}
if(siz[lev+1] == 0)
top = lev+1;
siz[lev+1] = 1;
return true;
}
}else
return false;
}else{
siz[1]++;
node *p = new node;
p->level = 1;
p->data = now;
p->next = f->next;
f->next = p;       //移花接木
int trid = rand()%2;
if(trid == 1&&lev<want){
node *q = new node;
q->data = p->data;
q->level = p->level+1;
q->under = p;
if(last!=NULL){
q->next = last->next;
last->next = q;
}else{
q->next = end;
le[lev+1].start->next = q;
}
if(siz[lev+1] == 0)
top = lev+1;
siz[lev+1]++;
return 1;
}else
return 0;
}
}

int main(){
//    freopen("sort.in","r",stdin);
//    freopen("sort.out","w",stdout);
srand(time(NULL));
end->data = 2147483647;
end->level = -1; //确认身份
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n;
want = log2(n);
for(int i=1;i<=want;i++){
le[i].level = i;
le[i].start->level = i;
le[i].start->next = end;
if(i!=1){
le[i].start->under = le[i-1].start;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
node* q = new node;
q->data = a[1];
q->next = end;
le[1].start->next = q;   //为第一层加上一个结点
siz[1]++;
for(int i=2;i<=n;i++){
insert(a[i],top,le[top].start);  //插 ♂入 a[i]
}
node *p = le[1].start;
p = p->next;
while(p!=end){
cout<<p->data<<" ";
p = p->next;
}
return 0;
}

int log2(int n){
int val = 1,k = 0;
while(val*2 < n){
k++;
val*=2;
}
return k+1;
}

多美妙的代码啊。

下面是它与其它几种排序方法在时间上的比较：

首先是对于测试点的说明：

对于测试点1：n=100000，专门卡插入排序的测试点，因为是从小到大排序所以自然是从大到小的数据喽。

对于测试点2：n=1000，数据随机。基本上都能过

对于测试点3：n=10000，数据随机。卡卡常还是能过

对于测试点4：n=50000，数据随机。理论上分块能过，人懒就没写分块。

对于测试点5：n=100000，数据随机。只有O(nlogn)能过

STL都跑得快，最慢的跑了0.09秒。heap_sort最慢的0.24秒。插排优化最慢的0.43秒(常数略大)。

普通插排最慢的32.18秒，被第一个点卡了。链表插排没过最后一个点(常数太大)。

还有一个我删了的是二分优化的普通插排(数组实现O(n^2))，最慢的跑了3秒。

下面是一道实战题，丑数（USACOtraining 第三章）

　　对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK},
　　来考虑那些质因数全部属于 S 的数的集合.这个集合包括,p1, p1p2, p1p1, 和 p1p2p3 (还有其它).
　　这是个对于一个输入的 S 的丑数集合.
　　注意:我们不认为 1 是一个丑数.
　　你的工作是对于输入的集合 S 去寻找集合中的第 N 个丑数.longint(signed 32-bit)对于程序是足
　　够的.
　　程序名: humble
　　读入说明：
　　第 1 行: 二个被空间分开的整数:K 和 N , 1<= K<=100 , 1<= N<=100,000.
　　第 2 行: K 个被空间分开的整数:集合 S 的元素
　　样例读入 (文件名 humble.in)
　　4 19
　　2 3 5 7
　　输出说明
　　单独的一行,写上对于输入的 S 的第 N 个丑数.
　　样例输出 (文件名 humble.out)
　　27

 对于这道题，我们容易想到的一种做法是用堆来做，代码我就不贴了（其实就是我删了懒得重打了）。容易证明，这样做的复杂度是O(2^(k)*k*n)的，空间也是会爆掉的，所以这样做不行。

 我们试着改变它，因为它是求第n小，所以假设一个由丑数构成的序列大于100000个元素，那么大于100,000的元素必然不可能是我想要的丑数(借用刘汝佳的一句话：想一想，为什么)。那么我们可以构建一个ans链表，来储存目前枚举出的每一个丑数，初始状态，ans数组仅有S集合中的元素，然后我们扫描一遍，求第n小，我们可以每次把当前第一小的数字出链表，同时加入它与它后面的数的乘积入链表(想一想为什么不加入它和前面的乘积，或者它和后面好几个的乘积)，这个的复杂度显然是O(k*logn)的，如果这个链表大小超过了n，那么就砍尾巴喽。那么这个的复杂度就是O(n*k*logn)，卡卡常还是能过的嘛。（毕竟是USACO，没像NOIP那样为难oier）。代码的话，我不会打！！！！毕竟这么晚了，改天有空了我会把代码补上。放心这次不会和前面那个三分，莫比乌斯一样烂尾的！

　　　　　　好了，代码写完了，其实这份代码有个可以优化的地方，大概可以优化O(nk)吧，就是对于某个数，从哪开始计算后面的这里，可以考虑用数组储存，而不是像我的代码一样每次都算出来。注意！这份代码因为写得烂(我这蒟蒻就这水平)，会被卡常，所以要再优化优化，优化很简单，每次出链表，maxlen-1，可以优化到最后一个点不超时，请自行优化。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
struct node{
long long data;
node *next,*last;
node* under;
node* on;
node(){
under =NULL;
on = NULL;
}
};
struct llist{
long long level;
node *start;
llist(){
start = new node;
}
}le[200];   //1<<200是个天文数字
long long siz[200];
long long p[200],top=1,want;
long long log2(long long);
long long insert(long long,long long,node*,node*);
node* end=new node;
node* point = end;  //指向第一层最后一个
long long del(node*);

int main(){
srand(time(NULL));
end->data = (1ll<<62ll);  //初始化end为一个很大的数，表明它的身份
ios::sync_with_stdio(false);
long long n,k;
cin>>n>>k;
want=log2(k);    //期望的层数，最大不能超过它(其实超过一点点可以加速，懒得那么写)
for(long long I=1;I<=n;I++)
cin>>p[I];
make_heap(p+1,p+n+1);
sort_heap(p+1,p+n+1);
for(long long i=1;i<=want;i++){
le[i].level = i;
le[i].start->next = end;
if(i!=1){
le[i].start->under = le[i-1].start;
}
if(i!=want)
le[i].start->on = le[i+1].start;
}
for(long long i=1;i<=n;i++)   //插入初始结点
insert(p[i],top,le[top].start,NULL);
point =le[1].start;
while(point->next!=end)
point = point->next;
long long maxlen = max(k,n);
for(long long i=1;i<k;i++){    //O(n)
long long num=le[1].start->next->data;
del(le[1].start->next);
long long Table[200];
memset(Table,0,sizeof(Table));
long long relation;
for(long long j=1;j<=n;j++) //O(k)
if(num%p[j]==0)
relation = j;
for(long long j=relation;j<=n;j++){  //O(k)
Table[j-relation+1] = num*p[j];
}
for(long long j=1;j<=(n-relation+1);j++){ //O(k)
if(Table[j]>point->data&&siz[1]>=maxlen)
break;
insert(Table[j],top,le[top].start,NULL);//O(logn)
if(siz[1]>maxlen){          //删除明显不可能是答案的结点
node* key = point->last;
long long level_now = 1;
while(point!=NULL){
point->last->next = end;
node *p=point->on;
delete point;
point=p;
siz[level_now++]--;
}
point = key;
}
}
}
cout<<le[1].start->next->data;
return 0;
}
long long del(node* place){    //删去元素。
long long levelnow = 1;
while(place!=NULL){
place->last->next = place->next;
place->next->last = place->last;
node *p=place->on;
place=p;
siz[levelnow++]--;
}
}

long long insert(long long now,long long lev,node* place,node *last){
node *f = place;
while(f->next->data < now && f->next!=end)
f = f->next;
if(lev != 1){                        //如果不是第一行就继续往下走
long long pd = insert(now,lev-1,f->under,f);
if(pd == true){   //这个链表的性质，必须下一层有上面一层才会有
long long trid = rand()%2;
if(trid == 1&&lev<want){  //如果随机中了，就给上层加结点
node* p = f->next;
node *q = new node;
q->data = p->data;
q->under = p;
p->on = q;
if(last!=NULL){
q->next = last->next;
q->next->last = q;
last->next = q;
q->last = last;
}else{
q->next = end;
le[lev+1].start->next = q;
q->last = le[lev+1].start;
}
if(siz[lev+1] == 0)
top = lev+1;
siz[lev+1]++;
return true;
}else
return false;
}else
return false;
}else{
siz[1]++;
node *p = new node;    //创建p结点连接起来
p->data = now;
p->next = f->next;
p->last=f;
f->next->last = p;
f->next = p;if(p->next==end)point=p;
long long trid = rand()%2;
if(trid == 1&&lev<want){
node *q = new node;  //为上一层创造q结点
q->data = p->data;
q->under = p;
p->on = q;
if(last!=NULL){
q->next = last->next;
q->next->last = q;
last->next = q;
q->last = last;
}else{
q->next = end;
le[lev+1].start->next = q;
q->last = le[lev+1].start;
}
if(siz[lev+1] == 0)//其实siz数组有没有都无所谓啦，只要有个bool的siz数组就行
top = lev+1;
siz[lev+1]++;
return 1;
}else
return 0;
}
}

long long log2(long long n){  //如代码名，计算log2n
long long Value = 1,k = 0;
while(Value*2 < n){
k++;
Value*=2;
}
return k+1;
}