HDU 4651 数学 五边形数定理

Partition

Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)


[align=left]Problem Description[/align]
How many ways can the numbers 1 to 15 be added together to make 15? The technical term for what you are asking is the "number of partition" which is often called P(n). A partition of n is a collection of positive integers (not necessarily
distinct) whose sum equals n.

Now, I will give you a number n, and please tell me P(n) mod 1000000007.

 

[align=left]Input[/align]
The first line contains a number T(1 ≤ T ≤ 100), which is the number of the case number. The next T lines, each line contains a number n(1 ≤ n ≤ 105) you need to consider.

 

[align=left]Output[/align]
For each n, output P(n) in a single line.

 

[align=left]Sample Input[/align]

4
5
11
15
19

 

[align=left]Sample Output[/align]

7
56
176
490

题解：五边形数定理
设第n个五边形数为

，那么

，即序列为：1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... 对应图形如下： 

 设五边形数的生成函数为

，那么有： 

   以上是五边形数的情况。下面是关于五边形数定理的内容： 五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下： 

 

 欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。  五边形数和分割函数的关系 欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即： 

   其中

为k的分割函数。 上式配合五边形数定理，有： 

  在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得 

 因此可得到分割函数p(n)的递归式：

 例如n=10时，有：

  所以，通过上面递归式，我们可以很快速地计算n的整数划分方案数p(n)了。以上内容转载自http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/12259815
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[100005];
const ll mod=1000000007;
void init(){
ll i,j;
for(i=1;i<=100000;i++){
for(j=1;;j++){
ll k1=j*(3*j-1)/2,k2=j*(3*j+1)/2;
ll signs=j%2?1:-1;
if(k1>i)break;
dp[i]=(dp[i]+signs*(dp[i-k1])+mod)%mod;
if(k2>i)break;
dp[i]=(dp[i]+signs*(dp[i-k2])+mod)%mod;
}
dp[i]=(dp[i]+mod)%mod;
}
}
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
dp[0]=1;
init();
while(t--){
ll n;
scanf("%lld",&n);
printf("%lld\n",dp
);
}
return 0;
}