数学 ( 卡特兰数 )——Scoop water ( CSU 1320 )

题目链接：

http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?id=1320

分析：

问题可以转化成求含有n个0和n个1的长度为2n的01串中，从左往右扫时，在每一个位置经过的0不多与1的串01串的个数。

这是一道关于卡特兰(Catalan)数的问题。

题解：

Catalan数的原理

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：

h(n)=h(0)∗h(n−1)+h(1)∗h(n−2)+..+h(n−1)h(0)(n>=2)

例如：

h(2)=h(0)×h(1)+h(1)×h(0)=1×1+1×1=2

h(3)=h(0)×h(2)+h(1)×h(1)+h(2)×h(0)=1×2+1×1+2×1=5

另类递推式：

h(n)=h(n−1)×(4×n−2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1)(n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=C(2n,n)−C(2n,n−1)(n=0,1,2,...)

Catalan数的应用：

括号化

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

出栈次序

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。（h(n)）

凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。

给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？

（能构成h（N）个）

（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：C（n,m）-C(n,m-1)。

Catalan数计算代码：

//递归求法，耗空间都是从0开始
unsigned long long catalannumber1(int n)
{
if(n == 0)
return 1;
else
return (4 * n - 2) * catalannumber1(n-1) / (n + 1);
}
//递推求法，耗时间
unsigned long long catalannumber2(int n)
{
unsigned long long cn = 1;
int i;

for(i=1; i<=n; i++)
cn = (4 * i - 2) * cn / (i + 1);

return cn;
}
//递推法求，（存储之前的数据），省时间
long long f[10005];
int n;
const int mod=1000000007;
int main()
{
f[0]=1;
for(int i=1;i<=10000;i++)
for(int j=0;j<i;j++)
f[i]=((f[j]*f[i-1-j])%mod+f[i])%mod;

while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
printf("%lld\n",f
);
}
return 0;
}

一组卡特兰数

0： 1,

1： 1,

2： 2,

3： 5,

4：14,

5：42,

6：132,

7：429,

8：1430,

9：4862,

10：16796,

11：58786,

12：208012,

13：742900,

14：2674440,

15：9694845,

16：35357670,

17：129644790,

18：477638700,

19：1767263190,

20：6564120420,

21：24466267020,

22：91482563640,

23：343059613650,

24：1289904147324,

25：4861946401452,

…