codeforces 251E: Devu and Birthday Celebration(求把这个n分成f块,切这f块的gcd为1有多少种方法)

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题意:有一个q表示查询次数(q<=1e5),然后接下来一个n,f(1≤f≤n≤10^5),求把这个n分成f块,切这f块的gcd为1有多少种方法

思路:因为n<=1e5,所以每个数的因子最多有2^6个(2*3*5*11*13*17>1e5)所以我们对于每一个查询都可以枚举它的因子,然后利用莫比乌斯去重

组合数可以利用逆元就行计算(隔板法),要先预处理,不然会T

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=101000;
const int MOD=1e9+7;
int cnt;
int a[maxn],Count[maxn];
long long Pow[maxn],INV[maxn];
bool check[maxn];
int prime[maxn],mu[maxn],tot;

void Moblus(){
memset(check,false,sizeof(check));
mu[1]=1,tot=0;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!check[i]){
prime[tot++]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<maxn;j++){
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j])
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
else{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
}
}
}

void solve(int n){
int num=sqrt(n+1);
for(int i=1;i<=num;i++){
if(n%i==0){
a[cnt++]=i;
if(i*i!=n)
a[cnt++]=n/i;
}
}
}

long long inv(long long a,long long m){
if(a==1)    return 1;
return inv(m%a,m)*(m-m/a)%m;
}

int main(){
Moblus();
int _,n,f;
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<maxn;i++)
Pow[i]=Pow[i-1]*i%MOD;
for(int i=0;i<maxn;i++)
INV[i]=inv(Pow[i],MOD);
scanf("%d",&_);
while(_--){
scanf("%d%d",&n,&f);
cnt=0;
solve(n);
sort(a,a+cnt);
long long ans=0;
for(int i=0;i<cnt;i++){ //分成两半,切一刀
if(n/a[i]<f)
break;
Count[a[i]]=Pow[n/a[i]-1]*INV[n/a[i]-f]%MOD*INV[f-1]%MOD;
ans=(ans+1LL*Count[a[i]]*mu[a[i]])%MOD;
}
printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
}
return 0;
}