压缩感知重构算法之基追踪降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)

题目：压缩感知重构算法之基追踪降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)

        本篇来探讨基追踪降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)，与基追踪不同之处在于，基追踪降噪在模型中考虑到了噪声的存在，而这在实际中是非常有意义的。因为考虑到了噪声，所以不同于BP的最优化模型可以转化为线性规划问题，BPDN的最优化模型可以转化为二次规划问题。

1、基追踪降噪的提出

        文献【1】为了使基追踪能够适应有噪声的数据，提出了基追踪降噪：



        然后将基追踪降噪转化为扰动线性规划(perturbed linear program)问题：



        基追踪降噪最优化模型中的参数λ可按如下规划选取：



        并没有查到简单的MATLAB函数求解扰动线性规划问题。作者发布了文献【1】中的算法MATLAB源代码工具箱Atomizer（下载链接：http://sparselab.stanford.edu/atomizer/），并有一个说明文档，在工具箱\Documentation目录下(AboutAtomizer1208.ps，若想打开需要转换一下格式，不成功者可以参考链接http://download.csdn.net/detail/jbb0523/9583505)

2、利用l1-magic工具箱实现基追踪降噪

        在l1-magic工具箱（链接：http://users.ece.gatech.edu/~justin/l1magic/）解决的七类问题中，并没有出现文献【1】式(5.1)类型，但在文献【2】中提到：





        即问题(3)与问题(1)等价。下面是l1-magic的(P2)问题：



        可以看出文献【2】的问题(3)与l1-magic中的问题(P2)等价，因此，我们完全可以使用l1-magic工具箱中求解(P2)的函数l1qc_logbarrier.m解决基追踪降噪(使用时注意，函数l1qc_logbarrier还调用了工具箱其它的函数)。

3、将基追踪降噪转化为二次规划问题

        文献【2】给出了将基追踪降噪转化为二次规划问题的过程：





        对于线性代数和矩阵分析基础不好的人，这个过程可能并不是很容易看明白，现详细推导如下：

Step0:

与基追踪推导类似，将变量x变为两个非负变量u和v之差：



Step1:

 

，其中 


Step2:



Step3:

因为

是一个数（或者说是1×1的矩阵）

所以



Step4:

因为



所以



令



则



Step5:



Step6:

综合Step3、Step4、Step5的结果，Step2可化为：



Step7:

与基追踪推导类似：



其中， 

表示转置



Step8:

综合Step6与Step7的结果，Step0可化为：



其中



Step9:

因为

是一个与变量无关的常数，因此不影响最优化极值点的位置

所以Step8可写为标准的二次规划形式：



        求得最优化解z0后可得变量x的最优化解x0=z0(1:n)-z0(n+1:2n)。

4、基于quadprog的基追踪降噪MATLAB代码(BPDN_quadprog.m)

        根据以上推导结果，可以写出基于MATLAB自带二次规划函数quadprog的代码：

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function [ x ] = BPDN_quadprog( y,A,tao )  

%BPDN_quadprog(Basis Pursuit DeNoising with quadprog) Summary of this function goes here  

%Version: 1.0 written by jbb0523 @2016-07-22   

%Reference:Nowak R D, Wright S J. Gradient projection for sparse reconstruction:  

%Application to compressed sensing and other inverse problems[J].   

%IEEE Journal of selected topics in signal processing, 2007, 1(4): 586-597.  

%(Available at: http://pages.cs.wisc.edu/~swright/papers/FigNW07a.pdf)  

    [y_rows,y_columns] = size(y);    

    if y_rows<y_columns    

        y = y';%y should be a column vector    

    end   

    n = size(A,2);  

    %according to section II-A of the reference  

    b = A'*y;  

    c = tao*ones(2*n,1)+[-b;b];  

    B = [A'*A,-A'*A;-A'*A,A'*A];  

    lb = zeros(2*n,1);  

    z0 = quadprog(B,c,[],[],[],[],lb);  

    x = z0(1:n) - z0(n+1:2*n);  

end  

5、基追踪降噪单次重构测试代码

        测试代码与OMP测试代码有改动，首先是测量矩阵Phi使用函数orth进行了正交化，其次是观测值y加入了噪声e，可以用比较软件Beyond Compare具体比较不同之处： 

[plain] view
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%压缩感知重构算法测试    

clear all;close all;clc;    

M = 64;%观测值个数    

N = 256;%信号x的长度    

K = 10;%信号x的稀疏度    

Index_K = randperm(N);    

x = zeros(N,1);    

x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的    

Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta    

Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵  

Phi = orth(Phi')';  

A = Phi * Psi;%传感矩阵    

sigma = 0.005;  

e = sigma*randn(M,1);  

y = Phi * x + e;%得到观测向量y    

%% 恢复重构信号x    

tic    

lamda = sigma*sqrt(2*log(N));  

theta =  BPDN_quadprog(y,A,lamda);  

x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta    

toc    

%% 绘图    

figure;    

plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号    

hold on;    

plot(x,'r');%绘出原信号x    

hold off;    

legend('Recovery','Original')    

fprintf('\n恢复残差：');    

norm(x_r-x)%恢复残差   

运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）

         1）图：



        2）Command Windows

Optimization terminated: relative functionvalue changing by less

 thansqrt(OPTIONS.TolFun), no negative curvature detected in current

 trust region model and the rate of progress(change in f(x)) is slow.

Elapsed time is 8.706162 seconds.

 恢复残差：

ans =

   0.2723

6、结束语

        从Command Windows输出可以看到，本次运行花费了8.706162秒，误差为0.2723。相比于之前的单次重构测试，这个运行时长非常长，误差非常大。为什么呢？

        有关运行时间长，是不是由于该二次规划变量只有一个非负约束，故可行域范围比较大，所以时间会很长；而误差大也是可以理解的，因为本来该方法的观测值就是含有噪声的，但问题也就来了，这不是基追踪“降噪”么？为什么没把“噪声”给“降”掉呢？

7、参考文献：

【1】Chen S S, Donoho D L, Saunders MA. Atomicdecomposition
by basis pursuit[J]. SIAM review, 2001, 43(1): 129-159.(Available at: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.37.4272&rep=rep1&type=pdf)
 【2】Nowak
R D, Wright SJ. Gradientprojection for sparse reconstruction: Application to compressed sensing andother inverse
problems[J]. IEEE Journal of selected topics in signalprocessing, 2007, 1(4): 586-597. (Available at: http://pages.cs.wisc.edu/~swright/papers/FigNW07a.pdf)