BZOJ-4591 超能粒子炮·改（lucas定理+预处理）

题意：求[C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,k)]%2333的值。

分析：因为n和k的值太大，不能直接预处理组合数，由lucas定理：C(n,k)%mod=C(n/mod,k/mod)*C(n%mod,k%mod)%mod，可得到如下结果

便于说明，记[C(n%mod,0)+C(n%mod,1)+...+C(n%mod,mod-1)]%mod=∑C(n%mod,0~mod-1)

ans(n,k)=[C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,k)]%mod=C(n/mod,0)*∑C(n%mod,0~mod-1)%mod+C(n/mod,1)*∑C(n%mod,0~mod-1)%mod+...+C(n/mod,k/mod-1)*∑C(n%mod,0~mod-1)%mod+C(n/mod,k/mod)*∑C(n%mod,0~k%mod)%mod=∑C(n/mod,0~k/mod-1)*∑C(n%mod,0~mod-1)+C(n/mod,k/mod)*∑C(n%mod,0~k%mod);

即ans(n,k)=∑C(n/mod,0~k/mod-1)*∑C(n%mod,0~mod-1)+C(n/mod,k/mod)*∑C(n%mod,0~k%mod);

对于n%mod以内的组合数及前缀和可以预处理得到，大组合数可以用lucas定理求解，并且∑C(n/mod,0~k/mod-1)=ans(n/mod,k/mod-1)，所以可以采取递归的方法求解最终结果，有如下递归式：

ans(n,k)=ans(n/mod,k/mod-1)*sum[n%mod][mod-1]+lucas(n/mod,k/mod)*sum[n%mod][k%mod];

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=2333;
ll c[mod+5][mod+5];//记录组合数
ll sum[mod+5][mod+5];//保存前缀和

void pre()  //预处理求出n%mod以内的组合数和前缀和
{
for(int i=0;i<=mod;i++) sum[0][i]=1;
c[0][0]=1;
for(int i=1;i<=mod;i++)
{
c[i][0]=sum[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)  c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
for(int j=1;j<=mod;j++) sum[i][j]=(sum[i][j-1]+c[i][j])%mod;
}
}
int lucas(ll n,ll m)
{
if(n==0||m==0) return 1;
return lucas(n/mod,m/mod)*c[n%mod][m%mod]%mod;
}
int solve(ll n,ll k)
{
if(k<0) return 0;
return (solve(n/mod,k/mod-1)*sum[n%mod][mod-1]%mod+lucas(n/mod,k/mod)*sum[n%mod][k%mod]%mod)%mod;
}
int main()
{
pre();
int T;
cin>>T;
while(T--)
4000

{
ll n,k;
scanf("%lld%lld",&n,&k);//注意不能用I64d，之前用了wa了好几发。。。
int ans=solve(n,k);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}