URAL 1132 Square Root <二次剩余 + 数论>

传送门：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1132

题意：给你在1~p之间取x使得满足x^2 n(%p),若存在，输出x的值，否则输出No root

分析：

今天要讨论的问题是解方程

，其中

是奇质数。

 

引理：



 

证明：由费马小定理，


 

引理：方程有解当且仅当


 

定理：设

满足

不是模

的二次剩余，即

无解，那么

是二次

     剩余方程

的解。

 

证明：由

，前面的等号用二项式定理和

，后面的等

     号用了费马小定理和

是模

的二次非剩余。然后

 

      


 

在算法实现的时候，对

的选择可以随机，因为大约有一半数是模

的二次非剩余，然后快速幂即可。

 
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升级：

接下来我们来解另一个二次同余方程

的解，其中

，并且

是奇质数。方法如下

 

先求出方程

的一个解

，那么进一步有

 

      


 

我们知道

 

      


 

那么也就是说

 

       


 

可以证明

和

，那么最终得到

 

       


 

这里由于

不是素数，所以求逆元用扩展欧几里得算法即可。

 

 

例如：求方程

的解

 

分析：利用上述方法求得

，最终解得

。

 

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define LL long long

LL quick_mod(LL a,LL b,LL p)//快速幂
{
LL ans = 1;
a%=p;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans = ans * a%p;
b--;
}
b>>=1;
a = a*a%p;
}
return (ans+p)%p;
}
LL Legendre(LL a,LL p)//求勒让得符号（-1,0,1）这里-1返回p-1
{
return quick_mod(a,(p-1)>>1,p);
}
struct T //二次域
{
LL p,d;
};
LL w; //二次域第二个单位参数

LL mod(LL t, LL p)
{
t %=p;
if(t<0) t+=p;
return t;
}
T multi_er(T a,T b, LL p)//二次域乘法
{
T ans;
ans.p = (a.p*b.p%p+ a.d*b.d%p*w%p)%p;
ans.d = (a.p*b.d%p +a.d*b.p%p)%p;
return ans;
}
T pow_er(T a,LL b,LL p)//二次域上的快速幂
{
T ans;
ans.p=1;
ans.d =0;

while(b)
{
if(b&1)
{
ans = multi_er(ans, a, p);
b--;
}
b>>=1;
a = multi_er(a, a, p);
}
return ans;
}
int solve(int n,int p)
{
if(p==2) return 1;
if(Legendre(n,p)+1 == p) return -1;
// printf("solve ...\n");
LL a = -1,t;
while(true)
{
a = rand()%p;
t = a*a -n;
w = mod(t,p);
if(Legendre(w,p)+1==p) break;
}
T tmp;
tmp.p = a;
tmp.d = 1;
T ans = pow_er(tmp,(p+1)>>1,p);
return ans.p;
}
int main()
{
int cas;
scanf("%d",&cas);
while(cas--)
{
int n,p;
scanf("%d %d",&n,&p);
n %=p;
int a = solve(n,p);
if(a == -1)
{
puts("No root");
continue;
}
else
{
int b = p - a;
if(a==b)
{
printf("%d\n",a);
}
else
{
if(a>b) swap(a,b);
printf("%d %d\n",a,b);
}
}
}
return 0;
}