求最长上升/下降子序列【O(nlgn)】
2016-08-02 19:14
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以最长上升子序列为例,例如给定数组:1,5,8,3,6,7,则最长上升子序列个数是4,也就是1,5,6,7或者是1,3,6,7。
对于这样的问题,我们很容易想到n*n复杂度的DP,但是这里再介绍另一种方法,时间复杂度可以降为n*lgn。
这个算法的具体操作如下:
开一个栈,每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较,如果temp > top 则将temp入栈;如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数,并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。
这也是很好理解的,对于x和y,如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。
举例:原序列为1,5,8,3,6,7。
栈为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。
我想,当出现1,5,8,2这种情况时,栈内最后的数是1,2,8不是正确的序列啊?难道错了?
分析一下,我们可以看出,虽然有些时候这样得不到正确的序列了,但最后算出来的个数是没错的,为什么呢?
想想,当temp>top时,总个数直接加1,这肯定没错;但当temp<top时呢? 这时temp肯定只是替换了栈里面的某一个元素,所以大小不变,就是说一个小于栈顶的元素加入时,总个数不变。这两种情况的分析可以看出,如果只求个数的话,这个算法比较高效。但如果要求打印出序列时,就只能用DP了。
附完整代码求解最长上升子序列:
参考http://www.cnblogs.com/dartagnan/archive/2011/08/29/2158247.html
对于这样的问题,我们很容易想到n*n复杂度的DP,但是这里再介绍另一种方法,时间复杂度可以降为n*lgn。
这个算法的具体操作如下:
开一个栈,每次取栈顶元素top和读到的元素temp做比较,如果temp > top 则将temp入栈;如果temp < top则二分查找栈中的比temp大的第1个数,并用temp替换它。 最长序列长度即为栈的大小top。
这也是很好理解的,对于x和y,如果x < y且Stack[y] < Stack[x],用Stack[x]替换Stack[y],此时的最长序列长度没有改变但序列Q的''潜力''增大了。
举例:原序列为1,5,8,3,6,7。
栈为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。
我想,当出现1,5,8,2这种情况时,栈内最后的数是1,2,8不是正确的序列啊?难道错了?
分析一下,我们可以看出,虽然有些时候这样得不到正确的序列了,但最后算出来的个数是没错的,为什么呢?
想想,当temp>top时,总个数直接加1,这肯定没错;但当temp<top时呢? 这时temp肯定只是替换了栈里面的某一个元素,所以大小不变,就是说一个小于栈顶的元素加入时,总个数不变。这两种情况的分析可以看出,如果只求个数的话,这个算法比较高效。但如果要求打印出序列时,就只能用DP了。
附完整代码求解最长上升子序列:
#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE #include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; int a[100005]; int s[100005]; int top; int t; int n; void func() { top = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { int pos = upper_bound(s, s + top, a[i]) - s; s[pos] = a[i]; top = max(top, pos + 1); }//top值即为所求 } int main() { return 0; }
参考http://www.cnblogs.com/dartagnan/archive/2011/08/29/2158247.html
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