树的直径(最长路) 的详细证明
2016-08-02 09:14
225 查看
一位大神的博客
主要是利用了反证法:
假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路
现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路
证明:
1 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则
dis(u,T) >dis(u,s) 且 dis(u,T)>dis(u,t) 则最长路不是s-t了,与假设矛盾
2 设u不为s-t路径上的点
首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,那么接下来的路径肯定都在s-t上了,而且终点为s或t,在1中已经证明过了
所以现在又有两种情况了:
1:u走到了s-t路径上的某点,假设为X,最后肯定走到某个端点,假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)
2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,则dis(u-T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然,如果这个式子成立,
则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)最长路不是s-t矛盾
附上一张第二种情况的图
主要是利用了反证法:
假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路
现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路
证明:
1 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则
dis(u,T) >dis(u,s) 且 dis(u,T)>dis(u,t) 则最长路不是s-t了,与假设矛盾
2 设u不为s-t路径上的点
首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,那么接下来的路径肯定都在s-t上了,而且终点为s或t,在1中已经证明过了
所以现在又有两种情况了:
1:u走到了s-t路径上的某点,假设为X,最后肯定走到某个端点,假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)
2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,则dis(u-T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然,如果这个式子成立,
则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)最长路不是s-t矛盾
附上一张第二种情况的图
相关文章推荐
- 理解PHP中变量的作用域
- Android_Intent_data_type
- 两阶段提交及JTA
- hdoj 1004 学习思路
- Android开发中如何保证activity的生命活性!
- poj 2516 Minimum Cost(k次最小费用最大流)
- 剑指Offer:替换空格
- 观察者模式Observer
- 合并压缩技术
- 前言
- jquery的layer弹出层框架,如果设置 iframe弹出一个页面里是表单提交,提交完怎么关闭弹出层
- nyoj 27 水池数目【DFS】
- ArcGIS Engine开发之旅01---产品组成、逻辑体系结构
- zabbix监控linux 以及监控mysql
- poj 1113(凸包)
- Cocos2d-JS 3.12版本Windows环境配置
- 【代码笔记】服务器检查浏览器是否关闭
- AngularJS基础 ng-init 指令简单示例
- SSH无密码登录设置
- java.lang.NoClassDefFoundError: com/sun/tools/internal/xjc/api/xjc????