寻找二叉树两个节点的最低公共祖先

原文链接：http://www.geeksforgeeks.org/lowest-common-ancestor-binary-tree-set-1/

ACM之家链接：http://www.acmerblog.com/lca-lowest-common-ancestor-5574.html

感觉这两个网站写的很好，然后想把代码保存到我的博客里，以便日后需要用时候拿来用。希望写代码的主人理解，理解至上！



给定一棵树，同时给出树中的两个结点(n1和n2)，求它们的最低公共祖先。也就是常见的LCA(Lowest Common Ancestor )问题。

方法一

下面是一个简单的复杂度为 O(n) 的算法，解决LCA问题
1) 找到从根到n1的路径，并存储在一个向量或数组中。
2)找到从根到n2的路径，并存储在一个向量或数组中。
3) 遍历这两条路径，直到遇到一个不同的节点，则前面的那个即为最低公共祖先.

下面的C++的程序实现：

// O(n) 解决 LCA
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//二叉树节点
struct Node
{
int key;
struct Node *left, *right;
};
//公用函数，生成一个节点
Node * newNode(int k)
{
Node *temp = new Node;
temp->key = k;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}
//找到从root到 节点值为key的路径,存储在path中。没有的话返回-1
bool findpath(Node * root,vector<int> &path,int key){
if(root == NULL) return false;
path.push_back(root->key);
if(root->key == key) return true;
//左子树或右子树 是否找到,找到的话当前节点就在路径中了
bool find =  ( findpath(root->left, path, key) || findpath(root->right,path ,key) );
if(find) return true;
//该节点下未找到就弹出
path.pop_back();
return false;
}

int findLCA(Node * root,int key1,int key2){
vector<int> path1,path2;
bool find1 = findpath(root, path1, key1);
bool find2 = findpath(root, path2, key2);
if(find1 && find2){
int ans ;
for(int i=0; i<path1.size(); i++){
if(path1[i] != path2[i]){
break;
}else
ans = path1[i];
}
return ans;
}
return -1;
}

// Driver program to test above functions
int main()
{
// 按照上面的图来创创建树
Node * root = newNode(1);
root->left = newNode(2);
root->right = newNode(3);
root->left->left = newNode(4);
root->left->right = newNode(5);
root->right->left = newNode(6);
root->right->right = newNode(7);
cout << "LCA(4, 5) = " << findLCA(root, 4, 5);
cout << "\nLCA(4, 6) = " << findLCA(root, 4, 6);
cout << "\nLCA(3, 4) = " << findLCA(root, 3, 4);
cout << "\nLCA(2, 4) = " << findLCA(root, 2, 4);
return 0;
}

输出：

LCA(4, 5) = 2
LCA(4, 6) = 1
LCA(3, 4) = 1
LCA(2, 4) = 2

时间复杂度: O(n), 树被遍历了两次，每次遍历复杂度不超过n，然后比较路径。

第二种方法(只遍历一次)

上面的方法虽然是O(n)，但是操作依然繁琐了一点，并且需要额外的空间来存储路径。其实可以只遍历一次，利用递归的巧妙之处。学好二叉树，其实就是学好递归。

从root开始遍历，如果n1和n2中的任一个和root匹配，那么root就是LCA。 如果都不匹配，则分别递归左、右子树，如果有一个 key（n1或n2）出现在左子树，并且另一个key(n1或n2)出现在右子树，则root就是LCA.  如果两个key都出现在左子树，则说明LCA在左子树中，否则在右子树。

/* 只用一次遍历解决LCA */
#include <iostream>
using namespace std;
struct Node
{
struct Node *left, *right;
int key;
};
Node* newNode(int key)
{
Node *temp = new Node;
temp->key = key;
temp->left = temp->right = NULL;
return temp;
}

// 返回n1和n2的 LCA的指针
// 假设n1和n2都出现在树中
struct Node *findLCA(struct Node* root, int n1, int n2)
{
if (root == NULL) return NULL;

// 只要n1 或 n2 的任一个匹配即可
//  (注意：如果 一个节点是另一个祖先，则返回的是祖先节点。因为递归是要返回到祖先的 )
if (root->key == n1 || root->key == n2)
return root;
// 分别在左右子树查找
Node *left_lca  = findLCA(root->left, n1, n2);
Node *right_lca = findLCA(root->right, n1, n2);
// 如果都返回非空指针 Non-NULL, 则说明两个节点分别出现了在两个子树中，则当前节点肯定为LCA
if (left_lca && right_lca)  return root;
// 如果一个为空，在说明LCA在另一个子树
return (left_lca != NULL)? left_lca: right_lca;
}

//测试
int main()
{
// 构造上面图中的树
Node * root = newNode(1);
root->left = newNode(2);
root->right = newNode(3);
root->left->left = newNode(4);
root->left->right = newNode(5);
root->right->left = newNode(6);
root->right->right = newNode(7);
cout << "LCA(4, 5) = " << findLCA(root, 4, 5)->key;
cout << "\nLCA(4, 6) = " << findLCA(root, 4, 6)->key;
cout << "\nLCA(3, 4) = " << findLCA(root, 3, 4)->key;
cout << "\nLCA(2, 4) = " << findLCA(root, 2, 4)->key;
return 0;
}

时间复杂度为O(n)，但是上面的方法还是有所局限的，必须保证两个要查找的节点n1和n2都出现在树中。如果n1不在树中，则会返回n2为LCA，理想答案应该为NULL。要解决这个问题，可以先查找下 n1和n2是否出现在树中，然后加几个判断即可。