组合数学 - 放苹果问题

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今天重新看整数划分想到了poj1664，写一下解题报告，免得总忘。

归结为各种分配问题：

M个苹果放入N个盘子里

【1】M相同，N相同，可为空：

允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

【其实这跟将一个整数m分成n个整数之和是类似的】：

贴上自己当时的代码：


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f(m-n,n)：每个盘子都有苹果

f(m,n-1)：至少有一个盘子没有苹果

或者用数组实现递归也可以：

f[m]
= f[m-n]
+f[m][n-1]，其中f[][1],f[][0],f[1][],f[0][] 都为1。

即：f[m]
= f[m][n - 1] + f[m - n]
;   
       　 = 1 // m== 0 || n == 1      
　　     = 0 // m < 0

 

接下来附上一篇转载加少数增减的文章。

原文地址http://blog.csdn.net/qq675927952/article/details/6312255

sigma B(n,i) i=1..r

【2】M相同，N相同，不可为空：

可以先把每个都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题【1】

 

【3】M相同，N不同，可为空：

盘子是不一样的，相当于m+n个位置放n个盘子，而且最后一个位置必须是盘子。这样，每个盘子之前有几个空位，就是有几个苹果，于是=

 
C( m+n-1 , n-1 )

【4】M相同，N不同，不可为空：

在问题【3】中之所以转换为m+n是因为，m可能大于n，这里不可为空，自然m≥n了，可采用隔板法，在相同的m之间去隔板，而且最后一个苹果后放置一块板子，并且第一个苹果前不能放置板子，即在m-1个空隙中设置n-1个隔板，所以为C( m-1 , n-1 )

【5】M不同，N相同，可为空：

　　sigma S(n,i) i=1..r

【6】M不同，N相同，不可为空：

　　S(n,r)
【7】M相同，N不同，可为空：
共N^M种。每个苹果都有N中不同的选择，共M个苹果
【8】M相同，N不同，不可为空：

　　r!*S(n,r)

 

问题１：

m----->相同， n---> 相同,可为空

将m个苹果放进n个盘子中，盘子允许空，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。

 

思路：

其实这跟将一个整数m分成n个整数之和是类似的，

设f[m]
为将m分成最多n份的方案数，且其中的方案不重复，每个方案前一个份的值一定不会比后面的大。

则有：f[m]
= f[m][n - 1] + f[m - n]
;   

       　 = 1 // m== 0 || n == 1      

　　     = 0 // m < 0

 

f[m][n - 1]相当于第一盘子中为0，只用将数分成n - 1份即可。

因为0不会大于任何数，相当于f[m][n - 1]中的方案前面加一个为0的盘子，

而且不违背f的定义。所以f[m][n - 1]一定是f[m]
的方案的一部分，即含有0的方案数。
f[m - n]
相当于在每个盘子中加一个数1。因为每个盘子中加一个数1不会影响f[m][n - 1]中的方案的可行性，也不会影响f的定义。

所以f[m - n]
一定是f[m]
的方案的一部分，即不含有0的方案数。

 

问题2:

问题描述：将整数N分成K个整数的和 且每个数大于等于A   

小于等于B 求有多少种分法

int Dynamics(int n, int k, int min) //将n分为k个整数 最小的大于等于min,最大不超过B   

{  

  

    if(n < min) return 0;//当剩下的 比min小,则不符合要求 返回0   

    if(k == 1) return 1;    

    int sum = 0;  

    for(int t = min; t <= B; t++)  

    {  

     sum += Dynamics(n-t, k-1, t);  

    }  

    return  sum;  

  

}  

问题3：

m----->相同， n---> 相同,不能为空

将m个苹果放进n个盘子中，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。

思路：

先把每个都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题１

 

问题4：

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。

递推公式为，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.

S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。

 

n个元素的集合分作k个环排列的方法是s(n,k)，那么

1.可由前n-1个元素k-1个环的s(n-1,k-1); 即最后一个元素为单环，前n-1个构成k-1环；

2.第n个元素一定不是单环，可以由n-1个元素k个环，把第n个数任意的放入一个环中组成新环！即得到n个

元素的集合分作k个环，假设n个元素的集合分作k个环，那么由于n,不在单环中，那么可以把n所在的环中把n

剔除，即得到了n-1个元素，k个环，即充分与必要性都得证！

因而：S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。得证！

 

问题5：

第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
//n－>有区别，K－>非空,没区别

递推公式为，
S(n,n) = S(n,1) = 1,

S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).

上面的递推式可以用组合证明：

一方面，如果将第n个元素单独拿出来划分成1个集合，那么方法数是S(n-1,k-1)；

另一方面，如果第n个元素所在的集合不止一个元素，那么可以先将剩下的n-1个元素划分好了以后再选一个集合把第n个元素放进去，方法数是k*S(n-1,k)；

有加法原理得证

 

问题6：

Bell数和Stirling数

B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。

集合的划分：非空，

B(0) = 1, B(1) = 1,

B(n) = Sum(1,n) S(n,k).　　其中Sum(1,n)表示对k从1到n求和，

 

问题7：

当Ｋ是有区别的时候，则一般都要在没有区别的基础上乘以K的全排列。