矩阵变换推导

http://ogldev.atspace.co.uk/www/tutorial06/tutorial06.html

翻译如下：

背景知识：

本次教程主要介绍3D物体的多种变换，在屏幕上如何展示3D物体，并在视觉上保持物体在场景中的深度。最普遍的方法是用矩阵来代表一个变换，一个一个矩阵的连乘点得坐标最终得到一个结果。每篇教程都会讲解一个变换。

下面我们来看下平移变换（translation transformation），平移变化负责将一个物体沿着指定的方向一定的距离。如下图所示，你想将左图的三角形移动到如右图的位置。



一种方法是，提供一个偏移向量，本例是（1,1）。把这个向量加在每个顶点上。但是，这种方法与使用多个矩阵连乘最终得到一个复合的变换矩阵相违背。



如果我们想得到下图的结果：



很难找到一个三维的矩阵来实现这个需求，但是使用4阶的矩阵则很容易做到。



使用4维的向量来代表一个3维的向量，通常这种方法被称为齐次坐标。这种方法在3D图形学中经常被使用。第四维的分量称为’w’。w在3D变换到2D的过程中起到了非常重要的作用。通常我们将w置为1来代表一个点；而置为0来代表一个向量。点是可用被平移的，但是向量是不能被平移的。因为向量只有大小和方向。具有相同大小和方向的向量被认为是相等，而不考虑它的起点在哪里。