POJ 2891 Strange Way to Express Integers(CRT非互质)

题目点我点我点我

题目大意：给出k个模方程组：x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x，那么输出-1.

解题思路：a[i]与a[j]不一定互质，不能直接用CRT求解。

运用合并的思想：

X mod r1=a1

X mod r2=a2

...

...

...

X mod rn=an

即可得同余方程x = r[i] (mod a[i])

易知 x = k1 * a1 + r1,x = k2 * a2 + r2。即k1 * a1 + r1=k2 * a2 + r2。

化简可得：k1 * a1= (r2 – r1) + k2 * a2 —— （1）

因为k2 * a2 % a2 = 0,所以k1 * a1 = (r2 – r1) (mod a2) ——（2）。

根据（1）可以变成

k1 * a1 - k2 * a2= (r2 – r1) ，即AX+BY=C方程组的形式，

要想方程组有解则C必须是gcd（A,B）的整数倍，

故k1 * a1 - k2 * a2= (r2 – r1) 有解的条件就是(r2 – r1)/gcd（a1，a2）= 0，否则无解，即输出-1.

设d=gcd（a1，a2），那么（2）可以化为

k1* a1/d = (r2 – r1) /d (mod a2/d)

再变形k1 = c/d * (a1/d)^(-1) (mod a2 / d)，

其中，(a1/d)^(-1)表示（a1/d）对于(a2/d)的乘法逆元。

(a1/d)^(-1)可以通过扩展欧几里德求得。

令K=c/d * (a1/d)^(-1) ，则k1=K （mod a2/d），即k1 = y * a2/d + K，代入 x = k1 * a1 + r1 可得x = (a1 * K + r1) (mod a1 * a2 / d)，此时a1*a2/d其实就是a1、a2的最小公倍数，

即LCM（a1，a2），

令r=(a1 * K + r1)，即x=r（mod LCM（a1，a2）），合并完成！

/* ***********************************************
┆  ┏┓　　　┏┓ ┆
┆┏┛┻━━━┛┻┓ ┆
┆┃　　　　　　　┃ ┆
┆┃　　　━　　　┃ ┆
┆┃　┳┛　┗┳　┃ ┆
┆┃　　　　　　　┃ ┆
┆┃　　　┻　　　┃ ┆
┆┗━┓　马　┏━┛ ┆
┆　　┃　勒　┃　　┆　　　　　　
┆　　┃　戈　┗━━━┓ ┆
┆　　┃　壁　　　　　┣┓┆
┆　　┃　的草泥马　　┏┛┆
┆　　┗┓┓┏━┳┓┏┛ ┆
┆　　　┃┫┫　┃┫┫ ┆
┆　　　┗┻┛　┗┻┛ ┆
************************************************ */

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

#define rep(i,a,b) for (int i=(a),_ed=(b);i<=_ed;i++)
#define per(i,a,b) for (int i=(b),_ed=(a);i>=_ed;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
const int inf_int = 2e9;
const long long inf_ll = 2e18;
#define inf_add 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define SelfType int
SelfType Gcd(SelfType p,SelfType q){return q==0?p:Gcd(q,p%q);}
SelfType Pow(SelfType p,SelfType q){SelfType ans=1;while(q){if(q&1)ans=ans*p;p=p*p;q>>=1;}return ans;}
#define Sd(X) int (X); scanf("%d", &X)
#define Sdd(X, Y) int X, Y; scanf("%d%d", &X, &Y)
#define Sddd(X, Y, Z) int X, Y, Z; scanf("%d%d%d", &X, &Y, &Z)
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")

LL extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
LL p = extend_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp = x;
x = y;
y = temp - (a / b) * y;
return p;
}

LL CRT(int n)
{
LL a1,a2,r1,r2,d,x,y,t;
int flag = 1;
a1 = read(), r1 = read();
for(int i=2;i<=n;i++)
{
a2 = read(), r2 = read();
d = extend_gcd(a1,a2,x,y);
if((r2-r1)%d)flag = -1;
t = a2 / d;
x = ( (x * (r2-r1)/d)%t+t ) % t;  //x为a2/d的逆元
r1 = x * a1 + r1;
a1 = a1/d*a2;                     //a1为a1、a2的最小公倍数
r1 = (r1 % a1 + a1) % a1;
}
if(flag==-1)return -1;
return r1;
}

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
printf("%I64d\n",CRT(n));
}

return 0;
}