【二分】求幂的和

【问题描述】

　　题目很简单：请你计算(a^1+a^2+…+a^n) mod 1234567 的结果，其中（0 < a,n < 2^31 ）。

【输入格式】

第一行T，表示数据组数，接下来的T行，每行包含a和n，表示一组数据。

【输出格式】

对于每组数据，输出对应的答案。

【输入样例】

5

1 7

3 10

5 8

9 20

17 100

【输出样例】

7

88572

488280

696766

550479

【数据范围】

0< T <=1000

题目大意:求(a^1+a^2+…+a^n) mod 1234567 的结果；

由于指数n可以达到2^31，规模很大，所以需要用快速幂求解a^n，而本题除了求解a^n之外还需要求解a^1+a^2+…+a^n,这里有两种方法。

一：暴力求出a^1,a^2…a^n然后累加。时间复杂度O(nlog2n);

二：继续对和二分，设tmp=a^1+a^2+…+a^(n/2)，

则最后的和sum=tmp+tmp*a^(n/2)(n为偶数)

或者sum=tmp+tmp*a^(n/2)+a^n(n为奇数)

而a^n,a^(n/2)都可以用快速幂求解。

这种算法的时间复杂度O(log2n*log2n)

注意:本题指数是从1开始的,故递归出口应是b==1时return a;

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define mo 1234567
using namespace std;
typedef long long LL;
int T;
int a,n;

LL qkpw(int a,int b,int k)//求a^n%k
{
LL ans=1,t=a;
while(b>0)
{
if(b&1)ans=ans*t%k;
t=t*t%k;
b=b/2;
}
return ans;
}

LL solve(int a,int b,int k)//求(a+a^2+a^3+...+a^n)%k
{
if(b==1)return a;
LL tmp=solve(a,b/2,k);
LL S;
if(b&1)S=((tmp%k+qkpw(a,b/2,k)*tmp%k)%k+qkpw(a,b,k))%k;
else S=(tmp%k+qkpw(a,b/2,k)*tmp%k)%k;
return S;
}

int main()
{
//freopen("my.in","r",stdin);
//freopen("my.out","w",stdout);

scanf("%d",&T);

while(T--)
{
scanf("%d%d",&a,&n);
LL ans=solve(a,n,mo);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}