2016多校第三场 1004 HDU 5755 高斯消元

HDU 5744

题目大致意思：

每个格子有一个数值，数值范围[0,2]。现在有一种操作，使得这个格子值变成(v+2)%3，周围四个格子值变为(v+1)%3。要求给出一种合法的操作方案。

题解： 列出方程，发现是带模的n*m个变元的n*m个方程，于是用高斯消元求解（赛中感觉状态十分之多就想网络流去了233）

关于高斯消元的步骤：

1.通过初等行变换变为阶梯矩阵

变量设定：当前讨论行i，讨论列j，矩阵系数A[i][j]

a）按列升序讨论，首先把第j列元素绝对值最大的行交换到首行

b）若j列元素均为0，则j++，然后回到操作1

c）否则。对于i行下面的每一行，设当前讨论行为k，实行初等行变换。设当前讨论列位tj，变换方法为A[k][j’] = A[k][tj] * lcm(A[i][j], A[k][j]) / A[k][j] - A[i][tj] * lcm(A[i][j], A[k][j]) / A[i][j]

d) 如此保证i行下面每一行，j列元素均为0。 此时i++，j++

2.根据线性代数知识，判定为无解、多解、唯一解三种情况

AC代码（高斯消元部分和主函数参考某位博主）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 900 + 2;
const int mod = 3;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x = 1; y = 0; return a;}
else{
int r = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= x * (a/b);
return r;
}
}
int lcm(int a,int b){
int x = 0, y =0;
return a / exgcd(a,b,x,y) * b;
}
int A[MAXN][MAXN],free_x[MAXN],x[MAXN]; ///
void Gauss(int n,int m){ ///输入分别为方程数和变量数
int r,c;
for(r=0,c=0;r<n && c<m;c++){
int maxr = r;
for(int i=r+1;i<n;i++) if(abs(A[i][c]) > abs(A[maxr][c])) maxr = i;
if(maxr != r) for(int i=c;i<=m;i++) swap(A[r][i],A[maxr][i]);
if(!A[r][c]) continue;
for(int i=r+1;i<n;i++) if(A[i][c]){
///这里要保证运算都是整数，所以要求最小公倍数
///范围不大可以用int，int运算更快
int d = lcm(A[i][c],A[r][c]);
int t1 = d / A[i][c], t2 = d / A[r][c];
for(int j=c;j<=m;j++)
A[i][j] = ((A[i][j] * t1 - A[r][j] * t2) % mod + mod) % mod;
}
r++;
}
for(int i=r;i<n;i++) if(A[i][m]) return ;
///这里保证是没有自由变元的情况下。
///有自由变元的时候，不一定是x[i] 对应 A[i][m]应该找那一行最开始的一列不为0的那个
for(int i=r-1;i>=0;i--){
x[i] = A[i][m];
for(int j=i+1;j<m;j++){
x[i] = ((x[i] - A[i][j] * x[j]) % mod + mod) % mod;
}
int x1 = 0,y1 = 0;
///这里是用exgcd求逆元，也可以用费马小定理求，如果mod是素数
int d = exgcd(A[i][i],mod,x1,y1);
x1 = ((x1 % mod) + mod) % mod;
x[i] = x[i] * x1 % mod;
}
}
void Gauss_init(){
memset(A,0,sizeof A); memset(free_x,0, sizeof free_x); memset(x,0, sizeof x);
}
int n, m;
int a[MAXN][MAXN];
int dx[] = {-1, 0, 1, 0};
int dy[] = {0, 1, 0, -1};
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0 ; i < n ; i++) for(int j = 0 ; j < m ; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
Gauss_init();
for(int i = 0 ; i < n ; i++) for(int j = 0 ; j < m ; j++) {
A[i * m + j][i * m + j] = 2;
for(int k = 0 ; k < 4 ; k++) {
int x = i + dx[k];
int y = j + dy[k];
if(x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= m) continue;
A[i * m + j][x * m + y] = 1;
}
A[i * m + j][n * m] = (3 - a[i][j]) % 3;
}
Gauss(n * m, n * m);
int cnt = 0;
for(int i = 0 ; i < n * m ; i++) cnt += x[i];
printf("%d\n", cnt);
for(int i = 0 ; i < n * m ; i++) {
while(x[i]) {
printf("%d %d\n", i / m + 1, i % m + 1);
x[i]--;
}
}
}
return 0;
}