[线性DP]最长不下降子序列(LIS)
2016-07-26 08:05
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题目:
在线性动态规划中状态是一维的,第i个元素的状态与前i-1个元素的状态有关,前i-1个状态组成一个决策序列,它是其他类动态规划的基础。典型的应用有LIS(最长不下降子序列),LCS(最长公共子序列)以及它们的应用。
例1 求最长不下降子序列。
由n个不相同的整数组成的数列,记为:a(1),a(2),…,a(n)且a(i)≠a(j)(i≠j),例如,3,18,7,14,10,12,23,41,16,24.若存在i1<
i2<i3<…<ie且有a(i1)<a(i2)<…<a(ie),则称其为长度为e的不下降子序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降子序列,同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降子序列。程序要求,当原数列给出之后,求出最长的不下降子序列的数据个数。
输入文件:
第一行为N(1≤N≤5000),第二行为N个整数,之间用空格隔开。
输出文件:
最长的不下降子序列的数据个数。
输入样例:
10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 24
输出样例:
6
思路:
DP入门题,状态转移方程:f[i] = max{ f[j] } + 1 (1 <= j < i);
状态转移方程f[i] = max{ f[j] }+1 要求a[j] < a[i], 那a[j] > a[i]怎么办?
我一开始有这样的疑问,其实是对 f[i] 有误解:
f[i] 不代表到 i 位置为止的最长不下降子序列的个数
f[i] 代表以 a[i] 为结尾的最长不下降子序列的个数,基于以 a[i] 为结尾这个条件,自然 a[j] < [i],最后只需要遍历一遍 f[i] 求其最大值就好
代码:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
/*
状态转移方程f[i] = max{f[j]} +1 (1 <= j < i);
f[i] 代表以 a[i] 结尾的最长不下降子序列
最后只需要遍历一遍f[0~n-1]最大的是谁就好
*/
int f[20];
int maxn;
int n;
void LIS_dp(int *a)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 0; j < i; j++)
{
if(a[i] > a[j] && f[j]+1 > f[i])
f[i] = f[j] + 1;
}
}
}
int main()
{
int a[10];
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
LIS_dp(a);
int t = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
if(f[i] > t)
t = f[i];
printf("%d", t);
return 0;
}
/*
10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 24
*/
反思:
关注 f[i] 或者 f[i][j] 等所代表的确切意思
在线性动态规划中状态是一维的,第i个元素的状态与前i-1个元素的状态有关,前i-1个状态组成一个决策序列,它是其他类动态规划的基础。典型的应用有LIS(最长不下降子序列),LCS(最长公共子序列)以及它们的应用。
例1 求最长不下降子序列。
由n个不相同的整数组成的数列,记为:a(1),a(2),…,a(n)且a(i)≠a(j)(i≠j),例如,3,18,7,14,10,12,23,41,16,24.若存在i1<
i2<i3<…<ie且有a(i1)<a(i2)<…<a(ie),则称其为长度为e的不下降子序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降子序列,同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降子序列。程序要求,当原数列给出之后,求出最长的不下降子序列的数据个数。
输入文件:
第一行为N(1≤N≤5000),第二行为N个整数,之间用空格隔开。
输出文件:
最长的不下降子序列的数据个数。
输入样例:
10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 24
输出样例:
6
思路:
DP入门题,状态转移方程:f[i] = max{ f[j] } + 1 (1 <= j < i);
状态转移方程f[i] = max{ f[j] }+1 要求a[j] < a[i], 那a[j] > a[i]怎么办?
我一开始有这样的疑问,其实是对 f[i] 有误解:
f[i] 不代表到 i 位置为止的最长不下降子序列的个数
f[i] 代表以 a[i] 为结尾的最长不下降子序列的个数,基于以 a[i] 为结尾这个条件,自然 a[j] < [i],最后只需要遍历一遍 f[i] 求其最大值就好
代码:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
/*
状态转移方程f[i] = max{f[j]} +1 (1 <= j < i);
f[i] 代表以 a[i] 结尾的最长不下降子序列
最后只需要遍历一遍f[0~n-1]最大的是谁就好
*/
int f[20];
int maxn;
int n;
void LIS_dp(int *a)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 0; j < i; j++)
{
if(a[i] > a[j] && f[j]+1 > f[i])
f[i] = f[j] + 1;
}
}
}
int main()
{
int a[10];
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
LIS_dp(a);
int t = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
if(f[i] > t)
t = f[i];
printf("%d", t);
return 0;
}
/*
10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 24
*/
反思:
关注 f[i] 或者 f[i][j] 等所代表的确切意思
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