二分搜索法简单分析与总结（转）

二分搜索法简单分析与总结( 转载）

原文链接（感谢题主）：

http://zhengboyang.com/2016/03/18/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%B3%95%E7%AE%80%E5%8D%95%E5%88%86%E6%9E%90%E4%B8%8E%E6%80%BB%E7%BB%93/

二分搜索法，是通过不断缩小解可能存在的范围，从而求得问题最优解的方法。在程序设计竞赛特别是ACM中，经常可以见到二分搜索法和其他算法结合的题目。

本文主要总结了二分的几种常用写法。

——————————————————————————————————————————

lower_bound

给定长度为 nn 的单调不下降数列 a0,a1,…,an−1a0,a1,…,an−1 和一个数 kk，求满足 ai≥kai≥k 条件的最小的 ii。不存在的情况下输出 nn。

满足“二分值越大越容易满足条件”，等同于“最小化最大值”，参见下方描述。

——————————————————————————————————————————

upper_bound

给定长度为 nn 的单调不下降数列 a0,a1,…,an−1a0,a1,…,an−1 和一个数 kk，求满足 ai>kai>k 条件的最小的 ii。不存在的情况下输出 nn。

满足“二分值越大越容易满足条件”，等同于“最小化最大值”，参见下方描述。

——————————————————————————————————————

最大化最小值

此种题目一般是“二分值越小越容易满足条件”，然后求符合条件的最大值。

区间长度为1时的写法：

解的范围为 [lb,rb][lb,rb]。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

// 计算区间为[lb, rb]

while( rb > lb ) // 区间长度为1时终止循环

{

// 防止溢出

int m = lb + (rb - lb + 1) / 2; // 由于是区间长度为1时终止循环，所以要加1

if( ok(m) ) lb = m;

else rb = m - 1;

}

// 跳出循环时 lb == rb

区间长度为2时的写法：

解的范围为 [lb,rb)[lb,rb)。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

while( rb - lb > 1 ) // 区间长度为2时终止循环

{

// 防止溢出

int m = lb + (rb - lb) / 2; // 由于是区间长度为2时终止循环，所以不用加1（不会死循环）

if( ok(m) ) lb = m;

else rb = m;

}

// 跳出循环时 lb + 1 == rb

// 答案为 lb

最小化最大值

此种题目一般是“二分值越大越容易满足条件”，然后求符合条件的最小值。

区间长度为1时的写法：

解的范围为 [lb,rb][lb,rb]。

1
2
3
4
5
6
7
8
while( rb > lb )
{
// 防止溢出
int m = lb + (rb - lb) / 2;     // 这里虽然区间长度为1，但不需要加1（不会死循环）
if( ok(m) ) rb = m;
else lb = m + 1;
}
// 跳出循环时 lb == rb
区间长度为2时的写法：
解的范围为 (lb,rb](lb,rb]。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
while( rb - lb > 1 )
{
// 防止溢出
int m = lb + (rb - lb) / 2;
if( ok(m) ) rb = m;
else lb = m;
}
// 跳出循环时 lb + 1 == rb
// 答案为 rb

浮点数的二分

浮点数二分一般直接指定循环次数（100次）作为终止条件。1次循环可以把区间的范围缩小一半，100次的循环则可以达到 2−100≈10−302−100≈10−30 的精度范围，基本上是没有问题的。

1
2
3
4
5
6
for( int i = 0; i < 100; ++ i )
{
double m = (lb + rb) / 2;
...
}
// 跳出循环时 lb 与 rb 近似相等，所以都可作为答案

此外，也可以类比整数的二分，把终止条件设为像 (r−l)/2>EPS(r−l)/2>EPS，依然通过指定一个区间的大小来终止循环。但是，如果 EPSEPS 取得太小了，就有可能因为浮点小数精度的原因导致陷入死循环。因此，对于浮点数，一般还是建议通过指定循环次数来作为终止条件。

总结

其实重点还是 最大化最小值 和 最小化最大值 的区分。可以发现：

对于区间长度为1的写法，两者的解存在范围都是闭区间。即初始化时 lblb 作为解的最小值，rbrb 作为解的最大值就可以了。唯一不同的是，求 最大化最小值 时，中间值的计算需要加1再除以2。这是这种写法的一个特征，可以自己手动验算下区间长度为1时是否能跳出循环。

对于区间长度为2的写法，两者的解存在范围都是半开半闭区间。即初始化时，有一边（左/右）需要加1或减1（以保证能求到解的最值）。答案也不同，一个是左值，一个是右值。

写法记一种就够了，记多了反而容易混淆。当然，归根结底，还是要多做题，多思考…