奶牛的锻炼-线性dp

题目地址：http://acm.qust.edu.cn/problem.php?id=1782

题目描述

奶牛Bessie有N分钟时间跑步，每分钟她可以跑步或者休息。若她在第i分钟跑步，可以跑出D_i米，同时疲倦程度增加1（初始为0）。若她在第i分钟休息，则疲倦程度减少1。无论何时，疲倦程度都不能超过M。另外，一旦她开始休息，只有当疲惫程度减为0时才能重新开始跑步。在第N分钟后，她的疲倦程度必须为0。

输入

第一行，两个整数，代表N和M。 接下来N行，每行一个整数，代表D_i。
N <= 10000 , M <= 500 , D_i <= 1000

输出

Bessie想知道，她最多能跑的距离。

样例输入

5 2
5
3
4
2
10

样例输出

9

解题思路

第i秒可以选择走或者休息，如果走，就需要第i-1秒疲劳值不满，这时候第i秒的长度就是第i-1秒的值加上能走的长度，但不满有0~m-1种可能，这时候需要选择第i-1秒时候，疲劳值为0~m-1中长度最长的那个。保证子问题最优。如果休息，第i秒的最大长度只能等于休息前的长度。休息的话，还有一是休息0~m-1种可能秒，从里面找一个最大maxn的；二是一直疲劳值为零了还休息。这种情况得到的值和上一情况的maxn比较取最大。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

int f[10010][510],a[10010];//第i秒疲劳值为j时走的最大路程。

int main()
{

int n,m,i,j,k;

scanf("%d%d",&n,&m);

for(i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);

for(i=1;i<=n;++i)
{
//选择跑
for(j=0; j<=m&&j<=i; ++j)//j<=i疲劳值不可能超过一直跑所获得的疲劳，最长不下降子序列也是要在当前位置之前去找最大
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+a[i]);
//上面这句话是循环找上一秒各个不同疲劳时的最大值，类比于最长不下降子序列，就是找之前比他数值小的中最长的一个
//实际上等于
//if(f[i][j]<f[i-1][j-1]+a[i])
//f[i][j]=f[i-1][j-1]+a[i];
}
f[i][0]=f[i-1][0];//第i秒疲劳值为零有两种情况，一是一直在休息
// 二是第i-k秒休息了k秒后疲劳值到0了，然后不休息了
int k;//k表示休息了几秒
for(k=1;k<=m&&k<=i;++k)//第i秒的时候不可能休息超过了i秒
{
f[i][0]=max(f[i][0],f[i-k][k]);
}
}

printf("%d",f
[0]);
return 0;
}