【bzoj】2705 - [SDOI2012]Longge的问题（欧拉函数）

点击打开题目

2705: [SDOI2012]Longge的问题

Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 2331  Solved: 1416

[Submit][Status][Discuss]

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

Source

round1 day1

这道题需要好好的分析一下，首先要列举出 n 的所有因子，然后对每一个因子 k 要求 GCD（i , n）== k ，求多少个 i 的问题了，但是这个 i 当然不能 for 循环遍历，把 i , k 都除以一个 k （因为他们都有共同的因子 k ），GCD（i / k ，n / k）== 1 ，这就说明两个数这么一变是互质的，那就等于求 n / k 的欧拉函数值，然后乘 k 就行了。

这时候遍历因子的时候有两点需要注意：

①只需要从1到sqrt（n）就行了，另一个因子是对称的（n / i）。

②如果sqrt（n）是整数，那么这个因子只能算一次，不能算对称了（对称还是它自己）

代码如下：

#include <cstdio>
int Eular(int n)
{
int ans = n;
for (int i = 2 ; i * i <= n ; i++)
{
if (n % i == 0)
{
ans -= ans / i;
while (n % i == 0)
n /= i;
}
}
if (n > 1)
ans -= ans / n;
return ans;
}
int main()
{
long long n;
scanf ("%lld",&n);
long long ans = 0;
int i;
for (i = 1 ; i * i < n ; i++)
{
if (n % i == 0)
ans += i * (long long)Eular(n/i) + n/i * (long long)Eular(i); //对称的两个因子
}
if (i * i == n && n % i == 0) //这个因子只能算一遍
ans += i * Eular(i);
printf ("%lld\n",ans);
return 0;
}