BZOJ1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球

面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点

后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点

后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2

0.0 0.0

-1.0 1.0

1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

正解：高斯消元

解题报告：

　　这题简直制杖，居然不忽略行末空格，害得我wa了一发。

　　这题的关键就在于那一步推导。首先每个点到球心的距离相等，显然，在一个n维空间中，只需要n+1个点就可以确定一个球。那我们如何确定球心呢？

　　我们不妨设n维球心的坐标为（x1，x2，x3，...，xn），那么我们可以用第一个点和剩余的n个点建立方程得到距离相等的式子，然后高斯消元即可解出球心坐标。

　　以三维空间为例，令读入的第一个点坐标为(a，b，c)，第二个点为（a1，b1，c1），则 第一个方程为(a1-x1)^2+(b1-x2)^2+(c1-x3)^2=(a-x1)^2+(b-x2)^2+(c-x3)^2，同理可得剩下的方程，

　　展开合并后可得2（a1-a）x1+2（b1-b）x2+2（c1-c）x3=a1^2-a^2+b1^2-b^2+c1^2-c^2

//It is made by jump~
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#ifdef WIN32
#define OT "%I64d"
#else
#define OT "%lld"
#endif
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
double lin[45];
double a[45][45];//高斯消元的方程系数组
double x[45];

inline int getint()
{
int w=0,q=0;
char c=getchar();
while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar();
if (c=='-')  q=1, c=getchar();
while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar();
return q ? -w : w;
}

inline void gauss(){
int t;
for(int i=1;i<=n;i++) {
t=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++) if(a[j][i]>a[t][i]) t=j;
if(t!=i) for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[t][j],a[i][j]);
for(int j=i+1;j<=n;j++) {
double ljh=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i+1;k<=n+1;k++) a[j][k]=a[i][k]-ljh*a[j][k];
}
}
for(int i=n;i>=1;i--) {
for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][n+1]-=x[j]*a[i][j];
x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];//最后解一个一元一次方程组
}
}

inline void work(){
n=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&lin[i]);//利用第一个给剩下的n个建立方程，可以得到n个n元一次方程组，然后高斯消元
//圆心坐标组为xi，令第一个坐标为(a，b，c)，则 第一个方程为(a1-x1)^2+(b1-x2)^2+(c1-x3)^2=(a-x1)^2+(b-x2)^2+(c-x3)^2，同理可得剩下的方程
double tt;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
scanf("%lf",&tt);
a[i][j]=2*(tt-lin[j]);
a[i][n+1]+=tt*tt-lin[j]*lin[j];
}
}
gauss();
for(int i=1;i<n;i++) printf("%.3lf ",x[i]);
printf("%.3lf",x
);
}

int main()
{
work();
return 0;
}