[线性DP]奶牛的锻炼

题目描述

奶牛Bessie有N分钟时间跑步，每分钟她可以跑步或者休息。若她在第i分钟跑步，可以跑出D_i米，同时疲倦程度增加1（初始为0）。若她在第i分钟休息，则疲倦程度减少1。无论何时，疲倦程度都不能超过M。另外，一旦她开始休息，只有当疲惫程度减为0时才能重新开始跑步。在第N分钟后，她的疲倦程度必须为0。

输入

第一行，两个整数，代表N和M。 接下来N行，每行一个整数，代表D_i。

输出

Bessie想知道，她最多能跑的距离。

样例输入

52

5 3 4 2 10

样例输出

9

提示

N <= 2000 , M <= 500 , D_i <= 1000

思路：
一维的线性DP，状态转移方程：if(j == 0) f[i][j] = f[i-1][0]; f[i][j] = max{ f[i][j],f[i-k][k]} (1<=k<i)
if(j != 0) f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i];
所设变量：

int n, m;//n分钟 m最高疲倦度
int a
;//原始数据
int f
[M];//第i分钟j疲劳度时的最长距离

根据第一题样例分析，
a
= {5, 3, 4, 2, 10};
f
数组如下：

	0	1	2
1	0	5	0
2	5	3	8
3	5	9	7
4	9	7	11
5	9	19	17

推而广之，我们可以证实状态转移方程，即
①if(j == 0) f[i][j] = f[i-1][0]; f[i][j] = max{ f[i][j],f[i-k][k]} (1<=k<i)；
当疲惫状态为0时，此前的 i 时间 0 疲惫度最长距离 = max{ i-1 时间 0 疲惫度最长距离, i-k 时间 k 疲劳度最长距离}
以f
数组表格中的f[4][0]为例：

	0	1	2
1	0	5	0
2	5	3	8
3	5	9	7
4	9	7	11
5	9	19	17

紫色即为我们求的f[i][j]——f[4][0]；
蓝色即为f[i-1][0]——f[3][0];
黄色即为f[i-k][k] (1<=k<i)——f[3][1], f[2][2] (1<=k<3) (f[1][3]=0
注意1：黄色块就是指到 i 时间可以洗尽疲惫度重新开始走的状态

②if(j != 0) f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i];
当疲惫状态不为0时，此前的 i 时间 0 疲惫度最长距离 = i-1时间 j-1 疲惫度最长距离 + i 时间跑出的距离
注意2：一旦开始休息，只有当疲惫度减为0时才能重新开始跑步；
所以，在疲惫度减为0前都当做他不存在，也就是说 f[i][j]这个状态不能从 j+1 疲惫度的状态继承（通过休息1min）而来

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 10000 + 10;
const int M = 500 + 10;
int n, m;
int a
;//原始数据
int f
[M];//第i分钟j疲劳度时的最长距离
void dp()
{
f[1][1] = a[1];
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
f[i][0] = f[i-1][0];
for(int k = 1; k < i; k++)
f[i][0] = max(f[i][0], f[i-k][k]);
for(int j = 1; j <= m; j++)
f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
dp();
printf("%d", f
[0]);
return 0;
}

反思：
贴上之前写的错误代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 2000 + 10;
const int M = 500 + 10;
int n, m;
int a
;//原始数据
int b
;//记录疲惫
int f
[M];//第i分钟j疲劳度时的最长距离
void dp()
{
f[1][1] = a[1];
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][1]);
f[i][m] = f[i-1][m-1] + a[i];
for(int j = 1; j <= m-1; j++)
<span style="white-space:pre">	</span>f[i][j] = max(f[i-1][j-1] + a[i], f[i-1][j+1]);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
dp();
printf("%d", f
[0]);
return 0;
}

1
 f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][1]);

2       f[i][m] = f[i-1][m-1] + a[i];

3       for(int j = 1; j <= m-1; j++)

4       f[i][j] = max(f[i-1][j-1] + a[i], f[i-1][j+1]);

粉红部分是错误代码，一开始我的理解出错了
第一行代码，右上角的到 i 时间可以洗尽疲惫度重新开始走的状态，只考虑了一个，应该是多个
第二行代码，正确
第三、四行代码，我忽略了我前面写的注意事项2，f[i][j]这个状态不能从 j+1 疲惫度的状态继承（通过休息1min）而来

小结：
这次抓住了问题的方向，但是动态转移方程写的不够准确，应该多注意一下所给条件