二分图最大匹配(匈牙利算法）

二分图最大匹配(匈牙利算法）  

（1）前提说明：（用到的定义说明）

1。二部图： 

 如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足 X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二部图；图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。

2。匹配： 

 设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。M中的—条边的两个端点叫做在M是配对的。    

3。饱和与非饱和： 

  若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M-饱和的，否则称v是M-不饱和的。 

4。交互道： 

  若M是二分图G＝(V,E)的一个匹配。设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。 

5。可增广道路： 

  若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。显然，一条边的两端点非饱和，则这条边也是可增广道路。 

6。最大匹配： 

  如果M是一匹配，而不存在其它匹配M'，使得|M'|>|M|，则称M是最大匹配。其中|M|表示匹配M的边数。 

7。对称差： 

  A，B是两个集合，定义 A?B = (A∪B)\(A∩B) 

  则A?B称为A和B的对称差。 

  定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。 

Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于 

X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： |T(A)| >= |A|

其中A\B表示集合A和集合B的商集，即属于A且不属于集合B的集合。

（2）定理（依据）：

   定理：M为G的最大匹配的充要条件是G中不存在可增广道路。 

Hall定理：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于 

X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： |T(A)| >= |A| 
（3）匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，其——基本步骤：

  1．任给初始匹配M； 

2．若X已饱和则结束，否则进行第3步； 

3．在X中找到一个非饱和顶点x0， 作V1 ← {x0},  V2 ← Φ； 

4．若T(V1) = V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y ∈T(V1)\V2； 

5．若y已饱和则转6，否则做一条从x0 →y的可增广道路P，M←M?E(P)，转2； 

6．由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作 V1 ← V1 ∪{z}, V2 ← V2 ∪ {y}， 转4； 

（4）基于最大匹配的其他问题求解：

1.  二分图的最小顶点覆盖（例hdu1150，poj3041）

  在二分图中求最少的点，让每条边都至少和其中的一个点关联，这就是 

二分图的“最小顶点覆盖”。

  结论： 二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数

2.  DAG图的最小路径覆盖  （例hdu1151）

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。  

结论：DAG图的最小路径覆盖数= 节点数（n）- 最大匹配数（m）

3.  二分图的最大独立集（例hdu1068）

最大独立集是指求一个二分图中最大的一个点集，该点集内的点互不相连。

结论：二分图的最大独立集数= 节点数(n)- 最大匹配数(m)/2

（5）代码模板（以hdu2063为例）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int map[505][505];
int dis[505],m,n,inq[505];
int find(int t){
int i;
for(i=1;i<=m;i++){
if(inq[i]==0&&map[t][i]){
inq[i]=1;
if(dis[i]==-1||find(dis[i])){
dis[i]=t;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int max(){
int i,num;
num=0;
memset(dis,-1,sizeof(dis));
for(i=1;i<=n;i++){
memset(inq,0,sizeof(inq));
if(find(i))
num++;
}
return num;
}
int main()
{
int k,a,b;
while(scanf("%d",&k),k!=0){
memset(map,0,sizeof(map));
scanf("%d%d",&n,&m);
while(k--){
scanf("%d%d",&a,&b);
map[a]=1;
}
printf("%d\n",max());
}
return 0;
}

[b]//inq[]相当于V2；dis[]相当于M；map[][]为记录输入的二分图；

相关练习：

HDOJ_1068  (二分图最大独立集=n-m/2) 

HDOJ_1150  (二分图最小顶点覆盖=m) 

HDOJ_1151  (二分图最小路径覆盖=n-m) 

HDOJ_1281(求完美匹配 的个数) 

HDOJ_1498(最大匹配n=遍历每个点需要的次数m) 

HDOJ_1528 

HDOJ_1507 

POJ_2724 

POJ_3216