NKOI 3724 图腾

[CTSC2008]图腾totem

2014年12月2日1,3203

Description

在完成了古越州圆盘密码的研究之后，考古学家小布来到了南美大陆的西部。相传很久以前在这片土地上生活着两个部落，一个部落崇拜闪电，另一个部落崇拜高山，他们分别用闪电和山峰的形状作为各自部落的图腾。小布的团队在山洞里发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了N个点，经测量发现这N个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。小布认为这幅壁画所包含的信息仅与这N个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为(1, y1) , (2, y2), …, (n, yn)，其中y1~yn是1~N的一个排列。小布的团队打算研究在这幅壁画中包含着多少个图腾，其中闪电图腾的定义图示如下（图腾的形式只与4个纵坐标值的相对大小排列顺序有关）：



崇拜高山的部落有两个氏族，因而山峰图腾有如下两种形式，左边为A类，右边为B类（同样，图腾的形式也都只与4个纵坐标值的大小排列顺序有关）：



小布的团队希望知道，这N个点中两个部落图腾数目的差值。因此在本题中，你需要帮助小布的团队编写一个程序，计算闪电图腾数目减去山峰图腾数目的值，由于该值可能绝对值较大，本题中只需输出该值对16777216的余数（注意余数必为正值，例如-1对16777216的余数为16777215）。

Input

第一行包含一个整数N，为点的数目。接下来一行包含N个整数，分别为y1, y2, …, yn。保证y1, y2, …, yn是1~N的一个排列。

Output

仅包含一个数，表示闪电图腾数目与山峰图腾数目的差值对16777216的余数。

Sample Input

【样例输入一】

5

1 5 3 2 4

【样例输入二】

4

1 2 4 3

Sample Output

【样例输出一】

0

【样例输出二】

16777215

HINT

样例一中共有1个闪电图腾（1324）和1个B类山峰图腾（1532）。样例二中仅有一个A类山峰图腾（1243），故差值为-1，答案为16777215。

【数据规模】对于10%的数据，N ≤ 600；对于40%的数据，N ≤ 5000；对于100%的数据，N ≤ 200000。

我们用****表示一种结构的方案数。

显然题目要求的是 1324-1432-1243=(1*2*-1423)-(14**-1423)-(12**-1234)

                                                        =1*2*-14**-12**+1234

                                                        =1*2*-(1***-13**)+1234

                                                        =1*2*-1***+13**+1234

所以我们只要求出来1*2*,1***,13***,1234的方案数就好了。

先求出l[i]，r[i]表示在i的左/右，比a[i]小的个数

可以先用树状数组求l[i]，则r[i]=(a[i]-l[i]-1)

———————————————————————————————————

f[1xxx]

枚举(1)的位置i，则i右边比i大的数有n-i-r[i],设为t

则xxx的方案数为t*(t-1)*(t-2)/6（组合数化简后结果）

———————————————————————————————————

f[1234]

枚举(3)的位置i，则(4)的个数有n-i-r[i]

12的对数为sigma(l[j]) (a[j]<a[i],j<=i)

两式相乘法

———————————————————————————————————

f[1x2x]

枚举(2)的位置i，则(2)左边的【数字对】(a[x],a[y])(a[x]<a[i],y任意)有l[i]*(i-1)个

但只有a[y]>a[i]，且y>x的合法

多算的有两部分，一部分是a[y]<a[i]，y>x，另一部分y<x

第一部分l[i]*(l[i]-1)/2，第二部分为sigma j (a[j]<a[i])

———————————————————————————————————

f[13xx]

枚举(3)的位置i，(3)的右侧要是(2)(4)或者(4)(2)

(4)的个数n-i-r[i]

则【数字对】(a[x],a[y])(a[x]<a[i],x<i,a[y]<a[i])有l[i]*(a[i]-1)个

但只有a[x]<a[y]，y>i的合法

也多算了两部分，一部分是x<y<i，形如123，另一部分是a[x]<a[y],y<x，形如213

第一部分l[i]*(l[i]-1)/2 第二部分sigma a[j] (a[j]<a[i])

以上就是这道题的题解了，据说这还是当时比赛最弱鸡的一道题，然而让我爽了一个多小时

还有一个要注意的地方，就是取mod的时候要把mod看做一个常数，并且将%符号改为&，这样才能让题目中负数的取模得到正确答案

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
#define lowbit(x) x&(-x)
#define mod 16777215
using namespace std;
const int maxn=200005;
int n,sum,a[maxn];
LL l[maxn],r[maxn],c[maxn];
inline void _read(int &x){
char t=getchar();bool sign=true;
while(t<'0'||t>'9')
{if(t=='-')sign=false;t=getchar();}
for(x=0;t>='0'&&t<='9';t=getchar())x=x*10+t-'0';
if(!sign)x=-x;
}
void modify(int x,int d){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]+=d;}
LL getsum(int x){
LL sum=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i))sum+=c[i];
return sum;
}
int work1(){
memset(c,0,sizeof(c));
LL sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
LL w=n-i-r[i];
if(w>=3)sum=(sum+w*(w-1)*(w-2)/6)&mod;
}
return sum;
}
int work2(){
memset(c,0,sizeof(c));
LL sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
sum=(sum+getsum(a[i])*(n-i-r[i]))&mod;
modify(a[i],l[i]);
}
return sum;
}
int work3(){
memset(c,0,sizeof(c));
LL sum=0;
for(int i=n;i;i--){
sum=(sum+(getsum(a[i])-r[i]*(r[i]+1)/2)*(n-r[i]-i))&mod;
modify(a[i],a[i]);
}
return sum;
}
int work4(){
memset(c,0,sizeof(c));
LL sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
sum=(sum+(l[i]*(i-1)-getsum(a[i])-l[i]*(l[i]-1)/2)*(n-r[i]-i))&mod;
modify(a[i],i);
}
return sum;
}
int main(){
_read(n);
int i;
for(i=1;i<=n;i++){
_read(a[i]);
l[i]=getsum(a[i]);
r[i]=a[i]-l[i]-1;
modify(a[i],1);
}
printf("%d",(work2()+work3()+work4()-work1())&mod);
}