【离散数学】最大元素、最小元素、极大元素、极小元素、上界、下界、最小上界（上确界）、最大下界（下确界）

设(A, ≤)是一偏序集合，B是A的子集。

最大元素、最小元素：

(1)元素b∈B是B的最大元素，如果对每一元素x∈B，x≤b

(2)元素b∈B是B的最小元素，如果对每一元素x∈B，b≤x

即：对于每一个元素，都能满足这样的偏序关系。

定理：如果B存在最大（最小）元素，那么它是唯一的。

例：如果B
= {2, 3}，偏序关系为“整除”，因为2和3互相不能整除，那么B没有最小元素和最大元素。

极大元素、极小元素：

(1)如果b∈B，且B中不存在元素x，使b≠x且b≤x，那么元素b∈B叫做B的极大元素。

(2)如果b∈B，且B中不存在元素x，使b≠x且x≤b，那么元素b∈B叫做B的极小元素。

即：对于极大元素，不存在元素在它偏序关系之上。对于极小元素，不存在元素在它偏序关系之下。

注意：B的最大(小)元素和极大(小)元素都必须是子集B的元素，而B的上界(下界)和最小上界(最大下界)可以是也可以不是B的元素。在定义中并没有保证这些元素的存在。在许多情况下他们是不存在的。

上界、下界：

(1)如果对每一b∈B，b≤a，那么元素a∈A叫做B的上界；

(2)如果对于如果对每一b∈B，a≤b，那么元素a∈A叫做B的上界；

上界、下界是A集合里的，可以存在很多个，也可以不存在

也就是说求上界的时候，对于每一个B里面的元素，都要和它上界们满足偏序关系，所以在集合B里面的不能有两个及以上，因为同事选择两个的话，就不满足B里面任何元素都要满足偏序关系了。

上确界、下确界：

(1)如果a是一上界并且对每一B的上界a’有a≤a’，那么元素a∈A叫做B的最小上界，记作lub；

(2)如果a是一下界并且对每一B的下界a’有a≤a’，那么元素a∈A叫做B的最大下界，记作glb

最大下界和最小上界可能存在也可能不存在，如果它们存在，则是唯一的。

如果最大值/最小值/上确界/下确界存在，那么一定是唯一的

求极大值/极小值的时候，因为只要是所有元素没有不满足的就可以，所以可以选择两个以上，其中可以有不和元素连线的。。

求上界/下界，因为是和最大最小值一样是所有的必须满足条件，所以所有元素都是要求有连线的，所以不可能存在两个及以上的元素在B集合里面。。