组合游戏的初步学习

组合游戏以前接触的比较少，现在学习一下，这种东西还是结合题目好理解点.

网上比较好的博客：

组合博弈 – 三大基本博弈

巴什博奕（Bash Game） ：

有一堆n个物品，两人轮流从堆中取物品，每次取 x 个 （ 1 ≤ x ≤ m）。最后取光者为胜。

题目：hdu 1846 Brave Game

威佐夫博奕（Wythoff Game）：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

题目：poj 1067 取石子游戏

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
int main()
{
int a,b,k,a_k;
while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
k = abs(a-b);
a = a < b? a : b;
a_k = floor(k*(1.0 + sqrt(5.0))/2);
printf("%d\n",a!=a_k);
//输出为0，说明该点为必败点，1为必胜点
}
return 0;
}

尼姆博奕（Nimm Game）:

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

一般可以用SG函数求解

必胜点和必败点的概念：

P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。

必胜点和必败点的性质：

1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）
2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。
3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。

* 有些题目可以从终结点（必败点P）推出其他点的性质，一般可以发现规律。 *

例题：

1. hdu 1846 Brave Game

2. poj 1067 取石子游戏

组合游戏 - SG函数和SG定理

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。不知道Nim游戏的请移步：这里

SG函数：

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

下面是几道用到SG函数的简单题目

1. hdu 1846 Brave Game

2. hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!

3. hdu 1848 Fibonacci again and again

hdu 1848

题意：

Nim游戏，只不过每次从石堆里可以拿的数是菲波那切数。其它地方跟Nim游戏一样。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1009;
const int M=20;
int f[M],sg
,vis
;
void getSG(int n)
{
int i,j;
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int j=0;f[j]<=i&&j<M;j++)vis[sg[i-f[j]]]=1;
for(j=0;;j++)if(!vis[j]){
sg[i]=j;break;
}
}
}

int main()
{
int n,m,p;
f[0]=f[1]=1;
for(int i=2;i<M;i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2];
getSG(1000);
while(~scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)&&(n+m+p)){
if(sg[m]^sg
^sg[p])printf("Fibo\n");
else printf("Nacci\n");
}
return 0;
}