【BZOJ】2005 [Noi2010]能量采集

[Noi2010]能量采集

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[Noi2010]能量采集

题目大意

中文题，题目意思很清楚，这里就不说了，总之就是要你求这个：

ans=∑x=1n∑y=1m[2(gcd(x,y)−1)+1]

题解

莫比乌斯反演 化简

可以化简：

ans=2∑x=1n∑y=1mgcd(x,y)−nm

可以看到现在的首要任务是求前面的和式，考虑到gcd(x,y)只有有限个值，我们设

f(d)：gcd(x,y)=d的(x,y)的对数

当然x和y都在范围内。

这样的话我们的ans可以改写为：

ans=2∑dd⋅f(d)−nm

看到首要任务是求f(d)，这里我们用莫比乌斯反演，于是我们又设：

F(d)：d|gcd(x,y)的(x,y)的对数

又因为：

F(d)=nd⋅md

根据反演公式，有：

f(x)=∑x|dμ(dx)⋅nd⋅md

到这里基本又是一些老东西了，令T=xd什么的，最后可以化简到：

f(x)=∑TnTmT∑x|Tμ(Tx)

把x换成d,再带入ans，得到：

ans=∑TnTmT∑d|Td⋅μ(Tx)

到这里，我们的μ(x)函数有一个性质：

∑d|nd⋅μ(nd)=ϕ(n)

这个可以用用欧拉函数的性质∑d|nϕ(d)=n这个式子莫比乌斯反演得来，所以我们可以把ans变为

ans=∑TnTmT⋅ϕ(T)

可以看到最后的式子非常简单，先筛出phi(d)然后分块求和即可。

代码

不能用%I64d，会WA

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define LL long long
#define maxn 100005

using namespace std;

LL n,m,p[maxn-5],cnt,phi[maxn];
bool vis[maxn-5];

void setup(int high)
{
cnt=0;
memset(p,0,sizeof(p));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(phi,0,sizeof(phi));
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=high;i++)
{
if (!vis[i])
{
vis[i]=1; p[cnt++]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=0;j<cnt && i*p[j]<=high;j++)
{
vis[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
else
{
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
}
}
for (int i=1;i<=high;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}

int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
setup(min(n,m));
LL last=0,t=min(n,m);
LL ans=0;
for (int i=1;i<=t;i=last+1)
{
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(LL) (n/i)*(m/i)*(phi[last]-phi[i-1]);
}
ans=(LL)ans*2-n*m;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}