POJ - 1723 Soldiers 士兵站队 排序+中位数

【问题描述】

在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数最表(x,y)表示。士兵可以沿着网格边上、下、左、右移动一步，但在同一时刻一个网格上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x,y的值，才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。

请计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。

【输入格式】

第1行是士兵总数n。接下来的n行是士兵的初始位置，每行两个整数x和y。

【输出格式】

输出士兵排成一行需要的最少移动步数。

【输入样例】

5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3

【输出样例】

8

【数据范围】

1<=n<=10000

-10000<=x,y<=10000

思路引用自：cqyz_holiday的博客 【排序专训】练习题 士兵站队（中位数应用） 解题报告

解题思路：根据题意，要求所有士兵的最小移动步数，首先要找出他们需站成的水平队列的第一个坐标（x,y）。求该点的纵坐标y很容易，只需将所有士兵的坐标按纵坐标由小到大排序，他们纵坐标的中位数即为所求点的纵坐标y。然而要求该点的横坐标x，就需仔细思考，我们可以知道要使所有士兵的移动步数最小，那么每个士兵都应该移动到离自己最近的队列位置，但又不能插队，所以第一个士兵应该移动进队列的第一个位置，第二个士兵应该移动进队列的第二个位置……设每个士兵的横坐标按由小到大排序后为X0，X1，X2,……所以，我们可以得出所有士兵在x方向的移动步数为|X0-x|+|X1-(x+1)|+…+|Xn-1-(x+n-1)|，将该式子变形可得|X0-x|+|(X1-1)-x|+…+|(Xn-1-(n-1))-x|，可以发现，要使该式子最小，则x为X0,X1-1,X2-2,…,Xn-1-(n-1)的中位数。由此就可以找出水平队列的第一个坐标(x,y)，然后根据第一个士兵移动进队列的第一个位置，第二个士兵移动进队列的第二个位置……计算出移动步数即为最小移动步数。

/*
Name: Soldiers
Copyright: Twitter & Instagram @stevebieberjr
Author: @stevebieberjr
Date: 20-07-16 20:20
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=10005;

struct node
{
int x,y;
}e[maxn];

int n;
long long ans=0;

int cmpy(node a,node b)
{
return a.y<b.y;
}

int cmpx(node a,node b)
{
return a.x<b.x;
}

int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
//freopen("output.txt","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
}
sort(e+1,e+n+1,cmpy);
int midy=e[(1+n)/2].y;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans+=abs(e[i].y-midy);
}
sort(e+1,e+n+1,cmpx);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
e[i].x=e[i].x-i;
}
sort(e+1,e+n+1,cmpx);
int midx=e[(1+n)/2].x;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans+=abs(e[i].x-midx);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}