平衡二叉树
2016-07-19 16:42
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概念
平衡二叉树是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉查找树:它的左子树和右子树都是 AVL树
左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1
也就是说如果结点N是叶子结点时:
N.Height = 1
否则
N.Height = 1 + max(N.Left.Height, N.Right.Height)
性质
如二叉树的结点N满足AVL树的性质,且h = N.Height,那么N结点的子树的结点树至少等于斐波那契数列Fh.AVL树的实现
需要保证孩子结点具有相近的高度AVL树的更新也可能会破坏AVL的性质
平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的,所以又称为AVL树。
定义:平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:
(1)左右子树深度之差的绝对值不超过1;
(2)左右子树仍然为平衡二叉树.
平衡因子BF=左子树深度-右子树深度.
平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1,0,-1。若其绝对值超过1,则该二叉排序树就是不平衡的。
如图所示为平衡树和非平衡树示意图:
二、平衡二叉树算法思想
若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其他所有不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。
失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近,且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点,则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。
(1)LL型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点,A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。
(2)RR型平衡旋转法
由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点,A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。
(3)LR型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先逆时针,后顺时针)。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型,再按LL型处理。
如图中所示,即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为LL型,再按LL型处理成平衡型。
(4)RL型平衡旋转法
由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先顺时针,后逆时针),即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置,然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型,再按RR型处理。
如图中所示,即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为RR型,再按RR型处理成平衡型。
平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点(其中一个可能是外部节点NULL),旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是,左旋的时候p->right一定不为空,右旋的时候p->left一定不为空,这是显而易见的。
如果从空树开始建立,并时刻保持平衡,那么不平衡只会发生在插入删除操作上,而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。
Insert
在插入新元素后,要重新调整二叉树,使其保证AVL树的性质伪代码实现
AVLInsert(k, R) //插入新元素 Insert(x,R) //找到插入新元素 结点 N <--- Find(k, R) //调整二叉树结构 Rebalance(N)
树的旋转:https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_rotation)
Rebalance(N)
Rebalance(N) p <--- N.parent if N.Left.Height > N.Right.Height + 1: RebalanceRight(N) if N.Left.Height < N.Right.Height + 1: RebalanceLeft(N) AdjustHeight(N) if p != null: Rebalance(p)
AdjustHeight(N)
//调整N的高度 AdjustHeight(N) N.Height = 1 + max(N.Left.Height, N.Right.Height)
RebalanceRight(N)
RebalanceRight(N) M <--- N.Left if M.Right.Height > M.Left.Height: RotateLeft(M) RotateRight(N) AdjustHeight(N)
Delete
AVLDelete(N) Delete(N) M <--- parent of node replacing N Rebalalance(M)
应用
返回第7大的元素返回中间的元素
返回前25%的元素
实现函数:OrderStatistics
输入:树T的根节点R和数字k(结点应该含有size项)
输出:返回树T中第k大的元素
N.size表示的是结点N子树中元素的个数,满足:
N.size = N.Left.size + N.Right.size + 1
伪代码实现
OrderStatistics(R, k) s <--- R.Left.size if k == s + 1: return R else if k < s + 1: return OrderStatistics(R.Left, k) else if k > s + 1 return OrderStatistics(R.Right, k - s -1)
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