深度优先搜索+动态规划——01背包类似问题
2016-07-19 16:41
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描述
今天是阴历七月初五,acm队员zb的生日。zb正在和C小加、never在武汉集训。他想给这两位兄弟买点什么庆祝生日,经过调查,zb发现C小加和never都很喜欢吃西瓜,而且一吃就是一堆的那种,zb立刻下定决心买了一堆西瓜。当他准备把西瓜送给C小加和never的时候,遇到了一个难题,never和C小加不在一块住,只能把西瓜分成两堆给他们,为了对每个人都公平,他想让两堆的重量之差最小。每个西瓜的重量已知,你能帮帮他么?
输入 多组测试数据(<=1500)。数据以EOF结尾 第一行输入西瓜数量N (1 ≤ N ≤ 20) 第二行有N个数,W1, …, Wn
(1 ≤ Wi ≤ 10000)分别代表每个西瓜的重量 输出 输出分成两堆后的质量差
样例输入
5
5 8 13 27 14
样例输出
3
最开始寻思着用贪心的思想来解决,将重量按照顺序从大到小排序,把每一件物品放入两堆中的某一个,使得重量差最小。使用局部最优,达到全局最优的效果。然而,贪心法在这里是不起作用的,会存在错解。
目前有一个想法,有没有可能进行数学建模后,运用凸函数理论来证明贪心算法不正确的情形?先mark一个,有进展再更。
下面给出两种正确解法。
对于枚举,要考虑到的就是每件物品只有两种状态,要么装入背包,要么不装入背包。那么,进行递归搜索时,每一层就只考虑这两种状态。详见代码。
原始问题就是将一堆数值分成两堆,使其每堆数值之和的差值最小化。将以上问题转化一下,用背包问题来解决。
问题的实质就是,有一个背包,其能装入的最多重量是那所有数值之和的一半,那一堆数值,代表物品的重量,而每一件物品的价值恰好等于其重量,求能装入背包的最大价值问题。
对于每一件物品,只有两种状态,要么放入背包,要么不放入背包,其最高价值的递推方程如下:
其中,F[i-1][j] 代表的意思是 在背包重量为 j 时,从前 (i-1)个物品里选择物品放入背包能装入的最大价值。
那么,第 i 个物品就有两种选择。如果背包的重量不允许第 i 个物品放入,那么它的价值就不会变,仍然是 F[ i - 1 ][ j ] ;如果背包刚好允许第 i 个物品放入,那么它的价值就应该为 在减掉第 i 个物品重量时背包的价值的基础上 再加上第 i 个物品本身的价值,最后就得到了刚好装入第 i 物品时,背包的最大价值。
而第 i 件物品到底放不放入背包,就取决于 是否会增大背包的价值,也就是取两种情况的大者。
代码如下。
今天是阴历七月初五,acm队员zb的生日。zb正在和C小加、never在武汉集训。他想给这两位兄弟买点什么庆祝生日,经过调查,zb发现C小加和never都很喜欢吃西瓜,而且一吃就是一堆的那种,zb立刻下定决心买了一堆西瓜。当他准备把西瓜送给C小加和never的时候,遇到了一个难题,never和C小加不在一块住,只能把西瓜分成两堆给他们,为了对每个人都公平,他想让两堆的重量之差最小。每个西瓜的重量已知,你能帮帮他么?
输入 多组测试数据(<=1500)。数据以EOF结尾 第一行输入西瓜数量N (1 ≤ N ≤ 20) 第二行有N个数,W1, …, Wn
(1 ≤ Wi ≤ 10000)分别代表每个西瓜的重量 输出 输出分成两堆后的质量差
样例输入
5
5 8 13 27 14
样例输出
3
最开始寻思着用贪心的思想来解决,将重量按照顺序从大到小排序,把每一件物品放入两堆中的某一个,使得重量差最小。使用局部最优,达到全局最优的效果。然而,贪心法在这里是不起作用的,会存在错解。
目前有一个想法,有没有可能进行数学建模后,运用凸函数理论来证明贪心算法不正确的情形?先mark一个,有进展再更。
下面给出两种正确解法。
深度优先搜索解决
其实就是简单的暴力枚举法,把所有可能性都找出来,然后求得差值最小的那种情况。对于枚举,要考虑到的就是每件物品只有两种状态,要么装入背包,要么不装入背包。那么,进行递归搜索时,每一层就只考虑这两种状态。详见代码。
#include<stdio.h> #include<math.h> int W[22],sum=0,N=0,minmize=10000,temp; int dfs(int cur,int total) { temp=fabs((sum-total)-total); if(temp<minmize) minmize=temp; if(cur==N || total>sum/2) return 0; dfs(cur+1,total+W[cur]); //第一种情况,当前物品放入背包,所以计入总价值 dfs(cur+1,total); // 第二种情况,当前物品不放入背包 } int main() { int i; while(scanf("%d",&N)!=EOF) { for(i=0;i<N;i++) { scanf("%d",&W[i]); sum+=W[i]; } dfs(0,0); printf("%d\n",minmize); } return 0; }
动态规划解决
上边的题目类似于背包问题。原始问题就是将一堆数值分成两堆,使其每堆数值之和的差值最小化。将以上问题转化一下,用背包问题来解决。
问题的实质就是,有一个背包,其能装入的最多重量是那所有数值之和的一半,那一堆数值,代表物品的重量,而每一件物品的价值恰好等于其重量,求能装入背包的最大价值问题。
对于每一件物品,只有两种状态,要么放入背包,要么不放入背包,其最高价值的递推方程如下:
其中,F[i-1][j] 代表的意思是 在背包重量为 j 时,从前 (i-1)个物品里选择物品放入背包能装入的最大价值。
那么,第 i 个物品就有两种选择。如果背包的重量不允许第 i 个物品放入,那么它的价值就不会变,仍然是 F[ i - 1 ][ j ] ;如果背包刚好允许第 i 个物品放入,那么它的价值就应该为 在减掉第 i 个物品重量时背包的价值的基础上 再加上第 i 个物品本身的价值,最后就得到了刚好装入第 i 物品时,背包的最大价值。
而第 i 件物品到底放不放入背包,就取决于 是否会增大背包的价值,也就是取两种情况的大者。
代码如下。
#include<stdio.h> #include<string.h> int max(int a,int b) { return a>b?a:b ; } int main() { int W[25],sum=0,N=0,weight[100005]; int i,j,temp; memset(weight,0,sizeof(weight)); while(scanf("%d",&N)!=EOF) { for(i=0;i<N;i++) { scanf("%d",&W[i]); sum+=W[i]; } temp=sum/2; for(i=0;i<N;i++) //动态规划算法 { for(j=temp;j>=W[i];j--) { weight[j]=max(weight[j-1],weight[j-W[i]]+W[i]); } } temp=(sum-weight[temp])-weight[temp]; printf("%d\n",temp); } return 0; }
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