深度优先搜索+动态规划——01背包类似问题

描述

今天是阴历七月初五，acm队员zb的生日。zb正在和C小加、never在武汉集训。他想给这两位兄弟买点什么庆祝生日，经过调查，zb发现C小加和never都很喜欢吃西瓜，而且一吃就是一堆的那种，zb立刻下定决心买了一堆西瓜。当他准备把西瓜送给C小加和never的时候，遇到了一个难题，never和C小加不在一块住，只能把西瓜分成两堆给他们，为了对每个人都公平，他想让两堆的重量之差最小。每个西瓜的重量已知，你能帮帮他么？

输入 多组测试数据（<=1500）。数据以EOF结尾 第一行输入西瓜数量N (1 ≤ N ≤ 20) 第二行有N个数，W1, …, Wn

(1 ≤ Wi ≤ 10000)分别代表每个西瓜的重量 输出 输出分成两堆后的质量差

样例输入

5

5 8 13 27 14

样例输出

3

最开始寻思着用贪心的思想来解决，将重量按照顺序从大到小排序，把每一件物品放入两堆中的某一个，使得重量差最小。使用局部最优，达到全局最优的效果。然而，贪心法在这里是不起作用的，会存在错解。

目前有一个想法，有没有可能进行数学建模后，运用凸函数理论来证明贪心算法不正确的情形？先mark一个，有进展再更。

下面给出两种正确解法。

深度优先搜索解决

其实就是简单的暴力枚举法，把所有可能性都找出来，然后求得差值最小的那种情况。

对于枚举，要考虑到的就是每件物品只有两种状态，要么装入背包，要么不装入背包。那么，进行递归搜索时，每一层就只考虑这两种状态。详见代码。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int W[22],sum=0,N=0,minmize=10000,temp;
int dfs(int cur,int total)
{
temp=fabs((sum-total)-total);
if(temp<minmize)
minmize=temp;
if(cur==N || total>sum/2)
return 0;
dfs(cur+1,total+W[cur]); //第一种情况，当前物品放入背包，所以计入总价值
dfs(cur+1,total); // 第二种情况，当前物品不放入背包
}
int main()
{
int i;
while(scanf("%d",&N)!=EOF)
{
for(i=0;i<N;i++)
{
scanf("%d",&W[i]);
sum+=W[i];
}
dfs(0,0);
printf("%d\n",minmize);
}
return 0;
}

动态规划解决

上边的题目类似于背包问题。

原始问题就是将一堆数值分成两堆，使其每堆数值之和的差值最小化。将以上问题转化一下，用背包问题来解决。

问题的实质就是，有一个背包，其能装入的最多重量是那所有数值之和的一半，那一堆数值，代表物品的重量，而每一件物品的价值恰好等于其重量，求能装入背包的最大价值问题。

对于每一件物品，只有两种状态，要么放入背包，要么不放入背包，其最高价值的递推方程如下:



其中，F[i-1][j] 代表的意思是 在背包重量为 j 时，从前 （i-1）个物品里选择物品放入背包能装入的最大价值。

那么，第 i 个物品就有两种选择。如果背包的重量不允许第 i 个物品放入，那么它的价值就不会变，仍然是 F[ i - 1 ][ j ] ；如果背包刚好允许第 i 个物品放入，那么它的价值就应该为 在减掉第 i 个物品重量时背包的价值的基础上 再加上第 i 个物品本身的价值，最后就得到了刚好装入第 i 物品时，背包的最大价值。

而第 i 件物品到底放不放入背包，就取决于 是否会增大背包的价值，也就是取两种情况的大者。

代码如下。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b ;
}
int main()
{
int W[25],sum=0,N=0,weight[100005];
int i,j,temp;
memset(weight,0,sizeof(weight));
while(scanf("%d",&N)!=EOF)
{
for(i=0;i<N;i++)
{
scanf("%d",&W[i]);
sum+=W[i];
}
temp=sum/2;
for(i=0;i<N;i++)        //动态规划算法
{
for(j=temp;j>=W[i];j--)
{
weight[j]=max(weight[j-1],weight[j-W[i]]+W[i]);
}
}
temp=(sum-weight[temp])-weight[temp];
printf("%d\n",temp);
}
return 0;
}