Sparse Table算法+poj3264（Balanced line up）题解----倍增思想

题意就是求一段区间的最大值和最小值之差（RMQ问题）。由于查询量大，考虑使用st表（空间复杂度（O(nlogn）），初始化复杂度（O(nlogn）），查询复杂度（O(1)）！！！）

Sparse Table算法，简称ST算法，可以用来求解RMQ（区间最值查询）问题。

RMQ问题的形式一般是：存在一个大数组，要求对于给定的起点和终点，迅速回答出这段区间的最大值或最小值。

最朴素的方式是扫描起点到终点的所有数，维护其中的最值，这样的复杂度是O(n^2)的，速度太慢。ST算法是使用的是类似于二分的动态规划思想，其复杂度是O(nlogn)，因此查询速度非常快。

ST算法的执行过程（以求最大值为例）：

1、初始化：

设原数组为x
。

先开一个数组dp
[33]。其中dp[i][j]表示的是从下标为i的元素开始，到下标为(i + 2^j - 1)的元素为止，这些元素中的最大值。对于整型而言，其值不会超过2^32，因此第二维大小为33已经足够。

因此dp[i][0]表示的是元素本身，因此可以初始化为dp[i][0] = x[i]。

对于其他的dp[i][j]，可以采用动态规划的方式求出，递推式为dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 2 ^ (j - 1)][j - 1])，其实就是把一段区间切成两段大小相等的区间，当前区间的最大值就是两个子区间的最大值中的较大者。

初始化的复杂度为O(nlogn)。

2、求解：

对于给定的起点srt及终点end，可以得出区间大小为range = end - srt + 1。

因此可以找到一个整数k = floor(log2(range))。这样区间就可以被划分为子区间[srt, srt + (2 ^ k) - 1]，子区间[end - (2 ^ k) + 1, end]。这两个很可能会有重叠，重合显然不影响求解（不妨举几个数据模拟一下）。因此对于srt和end，可以得到解为res = max(dp[srt][k], dp[end - (2 ^ k) + 1][k])。

求解的复杂度为O(1)。

显然可以使用二进制来计算k，速度会相对快一些。

具体方法是：

k = 0, p = 2, range = end - srt + 1;

while (p <= range)

{

k++;

p <<= 1;

}

//st表初始化方法
for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",arr+i);
fx[i][0]=fn[i][0]=arr[i];
}
for(int d=1;(1<<d)<=n;d++)
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i+(1<<(d-1))<=n)//这里要好好想一下为什么
fx[i][d]=max(fx[i][d-1],fx[i+(1<<(d-1))][d-1] ),
fn[i][d]=min(fn[i][d-1],fn[i+(1<<(d-1))][d-1] );
else fx[i][d]=fx[i][d-1],fn[i][d]=fn[i][d-1];

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define ms(X) memset(X,0,sizeof(X))
using namespace std;
typedef long long LL;
int arr[50005],fx[50005][34],fn[50005][34];
int main()
{
int n,q;
scanf("%d %d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",arr+i);
fx[i][0]=fn[i][0]=arr[i];
}
for(int d=1;(1<<d)<=n;d++)
for(int i=1;i<=n;i++)
if(i+(1<<(d-1))<=n)
fx[i][d]=max(fx[i][d-1],fx[i+(1<<(d-1))][d-1] ),
fn[i][d]=min(fn[i][d-1],fn[i+(1<<(d-1))][d-1] );
else fx[i][d]=fx[i][d-1],fn[i][d]=fn[i][d-1];
while(q--)
{
int tmin,tmax,a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
int rang=b-a+1;
int k=0,p=2;
while(p<=rang ) {k++;p<<=1;}
tmin=min(fn[a][k],fn[b-(1<<k)+1][k]);
tmax=max(fx[a][k],fx[b-(1<<k)+1][k]);
printf("%d\n",tmax-tmin);
}
return 0;
}