指数分布与幂律分布定义及不同（泊松分布、伽马分布）

1、定义

(1)幂律分布（pow law distribution），其概率密度函数形式如下，这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小，而只有少数事件的规模相当大。

y=cx-r

其中x，y是正的随机变量，c，r均为大于零的常数。

对上式两边取对数，可知lny与lnx满足线性关系lny=lnc-rlnx，也即在双对数坐标下，幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线，这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。判断两个随机变量是否满足线性关系，可以求解两者之间的相关系数；利用一元线性回归模型和最小二乘法，可得lny对lnx的经验回归直线方程，从而得到y与x之间的幂律关系式。




(2)指数分布

指数分布一个重要特征是无记忆性（Memoryless
Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。其概率密度函数和分布函数如下：

 
      

其中λ
> 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~
E（λ）

2、其他差异

通过数据拟合，发现两者的不同可以用一句话概括，幂律比指数下降的更快。

参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_8f48f45301015ofs.html

泊松分布：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html
伽马分布：http://www.tinysoft.com.cn/tsdn/helpdoc../display.tsl?id=12849