【NOIP2012】洛谷1081 开车旅行

题目描述

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的

城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为

Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即

d[i,j] = |Hi− Hj|。

旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划

选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B

的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿

着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离

相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的

城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小 A 想知道两个问题：

1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶

的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A

开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比

值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程

总数。 输入输出格式 输入格式：

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海

拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。

输出格式：

输出共 M+1 行。

第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶

的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和

Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。

动态规划+倍增。

dis[i][j][k][l]表示从i点出发，走2^j步，k先走，l的路程长度。

求出这个以后，就可用倍增求出某一点出发路程总长度不超过某一个值，两个人分别走的路程长度。

这样对于第二问，直接求。对于第一问，枚举起点求。

因为每次计算复杂度是O(logn)，所以计算阶段的总复杂度为O(nlogn+mlogn)。

接下来考虑如何求dis数组。

不难写出转移方程dis[i][j][k][l]=dis[i][j-1][k][l]+dis[des[i][j-1][k]][j-1][k][l]。

其中des[i][j][k]表示从i出发，走2^j步，k先开，最后的终点。

边界条件就是j=0，直接根据des计算。

这一步的复杂度为O(nlogn)。

接下来考虑如何求des数组。

同理，不难写出方程des[i][j][k]=des[des[i][j-1][k]][j-1][k]。

但是有两点需要注意。

1.j=1时特殊考虑，方程变为des[i][1][k]=des[des[i][0][j]][0][k^1]。

2.边界条件，即如何求des[i][0][j]。

建立一棵平衡树【或者直接用set】，从右向左扫描，扫描到某一个点时，当前set里的就是该点右边的点。用lower_bound()即可求出最近点和次近点。然后把该点插入set中。

平衡树复杂度O(nlogn)，求des同样O(nlogn)。

综上所述，总的时间复杂度为O((m+n)logn)。

实现时注意的细节：

1.set里可以预先插入无穷大和无穷小，避免各种RE。

2.倍增求dis和des的时候，2的幂j循环要放在最外面。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<set>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long oo=100000023333333;
long long des[100010][20][2],dis[100010][20][2][2],to[100010][2],lim,n;
struct city
{
long long num,hei;
bool operator < (const city &a) const
{
return hei<a.hei;
}
}dat[100010],tem;
set<city>::iterator i1,i2,i3,i4;
bool cmp(city x,city a,city b)
{
if (abs(x.hei-a.hei)==abs(x.hei-b.hei)) return a.hei<b.hei;
return abs(x.hei-a.hei)<abs(x.hei-b.hei);
}

void cal(int s,long long l,long long &ansa,long long &ansb)
{
long long i,j,k,x,y,z,p,q,tot;
ansa=ansb=0;
for (p=lim;p>=0;)
if (des[s][p][0]&&ansa+ansb+dis[s][p][0][0]+dis[s][p][0][1]<=l)
{
ansa+=dis[s][p][0][0];
ansb+=dis[s][p][0][1];
s=des[s][p][0];
}
else
p--;
}
int main()
{
freopen("drive.in","r",stdin);
freopen("drive.out","w",stdout);
long long i,j,k,l,m,p,q,x,y,z,w,len,ansa,ansb,ans;
scanf("%lld",&n);
lim=log(n+0.5)/log(2.0);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&dat[i].hei);
dat[i].num=i;
}
set<city> pl;
tem.num=0;
tem.hei=oo;
pl.insert(tem);
tem.hei=-oo;
pl.insert(tem);
tem.hei=oo+1;
pl.insert(tem);
tem.hei=-oo-1;
pl.insert(tem);
for (i=n;i>=1;i--)
{
i1=pl.lower_bound(dat[i]);
i2=i1;
i2--;
i3=i2;
i3--;
i4=i1;
i4++;
if (cmp(dat[i],*i1,*i2))
{
to[i][1]=i1->num;
if (cmp(dat[i],*i2,*i4))
to[i][0]=i2->num;
else
to[i][0]=i4->num;
}
else
{
to[i][1]=i2->num;
if (cmp(dat[i],*i1,*i3))
to[i][0]=i1->num;
else
to[i][0]=i3->num;
}
pl.insert(dat[i]);
}
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<=1;j++)
des[i][0][j]=to[i][j];
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<=1;j++)
des[i][1][j]=des[des[i][0][j]][0][j^1];
for (j=2;j<=lim;j++)
for (i=1;i<=n;i++)
for (k=0;k<=1;k++)
des[i][j][k]=des[des[i][j-1][k]][j-1][k];
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<=1;j++)
dis[i][0][j][j]=abs(dat[i].hei-dat[des[i][0][j]].hei);
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=0;j<=1;j++)
for (k=0;k<=1;k++)
if (j==k)
dis[i][1][j][j]=dis[i][0][j][j];
else
dis[i][1][j][k]=dis[des[i][0][j]][0][k][k];
for (j=2;j<=lim;j++)
for (i=1;i<=n;i++)
for (k=0;k<=1;k++)
for (l=0;l<=1;l++)
dis[i][j][k][l]=dis[i][j-1][k][l]+dis[des[i][j-1][k]][j-1][k][l];
scanf("%lld",&len);
cal(1,len,ansa,ansb);
ans=1;
for (i=2;i<=n;i++)
{
cal(i,len,x,y);
if (ansb==0)
{
if (y||dat[i].hei>dat[ans].hei)
{
ansa=x;
ansb=y;
ans=i;
}
}
else
{
if (!y) continue;
if (((long long)x*ansb<(long long)y*ansa)||
((long long)x*ansb==(long long)y*ansa&&dat[i].hei>dat[ans].hei))
{
ansa=x;
ansb=y;
ans=i;
}
}
}
printf("%lld\n",ans);
scanf("%lld",&m);
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld",&p,&q);
cal(p,q,x,y);
printf("%lld %lld\n",x,y);
}
}