POJ 1284 Primitive Roots 原根

//原根+完全剩余系：
//看了别人的解题报告 明白了原根的重要定理：
// 设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
//假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,那么g可以称为是P的一个原根,
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这一题主要是用到了两个定理：
1)所有的奇素数都是有原根的
2)一个数n有原根，那么他有phi(phi(n))个模n不同余的原根(n是否素数都可用)
3)一个素数有原根，则有phi(n-1)个原根
证明：假设奇素数n的原根为r,那么r,r^1,r^2...r^phi(n)是模n不同余的，
由于(r^i)^(phi(n))=(r^phi(n))^i=1(mod n)，1<=i<=phi(n)，所以对于r^2,r^3..r^phi(n)来说ord(sub n) a|phi(n),即phi(n)是r^i模n的阶的倍数
又因为只有当(i,phi(n))=1时，r^i才是模n的原根，所以一共有phi(phi(n))个原根。
设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 0<i<P,那么g可以称为是P的一个原根
归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).
简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）
其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间
则g为p的原根。
算法】定理1：如果p有原根，则它恰有φ(φ(p))个不同的原根（无论p是否为素数都适用）
{x^i%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {x^i%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},
即为(p-1)的完全剩余系若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,根据定理,可以推出若 gcd(x, p-1) = 1时,
(1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系 因为若x^i != x^j (mod p-1),那么x*x^i != x*x^j (mod p-1),
与条件m矛盾,所以 x^i = x^j (mod p-1), 由此可以确定答案为Euler(p-1)
*/
//欧拉函数求的是 小于或等于 n 且与n互质的数的个数
//原根求的是 { (x^i mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }.
//就是一个数x的i次方 (1<=i<=p-1) mod p等于 a(1<=a<=p-1); 求x Euler(p-1);
以上转载http://blog.csdn.net/wahaha1_/article/details/8078753

#include <cstdio>
const int maxn = 70000;
int phi[maxn];
void phi_table(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; i++)
phi[i] = 0;
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(!phi[i])
for(int j = i; j <= n; j += i)
{
if(!phi[j])
phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
}
}

int main()
{
phi_table(65536);
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
printf("%d\n", phi[n-1]);
}
return 0;
}