动态规划算法详解
2016-07-17 17:12
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动态规划的介绍
动态规划一般也只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足,故有时需要引入一定的近似)。简单地说,问题能够分解成子问题来解决。基本思想及其与分治法的区别:
将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解(这部分与分治法相似)。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。通常可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。这就是动态规划的基本思路。
动态规划算法的4个步骤:
1.描述最优解的结构
2.递归定义最优解的值
3.按自底向上的方式计算最优解的值 //此3步构成动态规划解的基础。
4.由计算出的结果构造一个最优解。 //此步如果只要求计算最优解的值时,可省略。
采用动态规划求解的问题需要具有两个特性:
最优子结构(Optimal Substructure):
问题的一个最优解中所包含的子问题的解也是最优的。总问题包含很多个子问题,而这些子问题的解也是最优的。重叠子问题(Overlapping Subproblems):
用递归算法对问题进行求解时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题会被重复计算多次。问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只计算一次,然后将其计算结果保存在一个表格中,当再次需要计算已经计算过的子问题时,只是在表格中简单地查看一下结果,从而获得较高的效率。典型例题:
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
分析
:很显然,这道题的对应的数学表达式是F(n)=F(n-1) + F(n-2);
其中F(1)=1, F(2)=2。很自然的状况是,采用递归函数来求解:int solution(int n){ if(n>0 && n<2) return n; return solution(n-1) + solution(n-2); }
如果我们计算F(10), 先需要计算F(9) F(8); 但是我们计算F(9)的时候,又需要计算F(8),很明显,F(8)被计算了多次,存在重复计算;同理F(3)被重复计算的次数就更多了。算法分析与设计的核心在于 根据题目特点,减少重复计算。 在不改变算法结构的情况下,我们可以做如下改进:
int dp[11]; int solution(int n){ if(n>0 && n<2) return n; if(dp !=0) return dp ; dp = solution(n-1) + solution(n-2); return dp ; }
这是一种递归形似的写法,进一步,我们可以将递归去掉:
int solution(int n){ int dp[n+1]; dp[1]=1;dp[2]=2; for (i = 3; i <= n; ++i){ dp = dp[n-1] + dp[n-2]; } return dp ; }
动态规划的五个典型算法(见我其他的博客)
1.最大连续子序列之和
最大连续子序列之和的博客链接2.数塔问题(二叉树从上往下遍历最大和问题)
3.01背包问题
4.最长递增子序列(LIS)
5.最长公共子序列(LCS)
最长公共子序列(LCS)的博客链接我的微信二维码如下,欢迎交流讨论
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参考:
http://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8247015
http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6110269
http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729
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